Простейшие задачи в координатах

1.

2.

№929 Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а
точка В – на положительной полуоси ОУ. Найдите
координаты вершин треугольника АВО, если
y
B (0; b3))
а) ОА = 5, ОВ = 3;
б) ОА = a, ОВ = b
b3
x
O (0; 0) 5a
A ((5;
a; 0)
0)

3.

№930 Точка А лежит на положительной полуоси Ох, а
точка В – на положительной полуоси ОУ. Найдите
координаты вершин прямоугольника ОАСВ, если
y
B (0; b
3))
а) ОА = 6,5, ОВ = 3;
б) ОА = a, ОВ = b
(
a
;
b
)
C (6,5;3)
b3
x
O (0; 0) 6,5
a
A (6,5;
(a; 0)0)

4.

№931 Начертите квадрат MNPQ так, чтобы вершина
Р имела координаты (-3; 3), а диагонали квадрата
пересекались в начале координат. Найдите координаты
точек M, N и Q.
y
P(-3;3)
Q (3;3)
O
x
N(-3;-3)
M(3;-3)

5.

№932 Найдите координаты вершин равнобедренного
треугольника АВС, изображенного на рисунке, если
АВ = 2a, а высота СО равна b.
y
C (0;b)
x
A(-a;0)
O
B (a;0)

6.

№933 Найдите координаты вершины D
параллелограмма АВСD, если А(0; 0), В(5; 0), С(12; -3).
y
A (0; 0) 5
x
B(5; 0)
D(7;-3)
C (12;-3)
-5

7.

Выразим
координаты
вектора
АВ через
Каждая
координата
вектора
равнакоординаты
разности его
начала А и конца В.
соответствующих координат его конца и начала.
AB = AO + OВ = – OA + OВ
из ОАВ
y
OA{x1;y1} (-1)
B (x2;y2)
+
–OA{-x1;-y1}
OB{ x2; y2}
A(x1;y1)
O
x
– OA + OВ {x2 - x1; y2 - y1}
AB {x2 - x1; y2 - y1}

8.

y
T (0;5) A(3;5)
О
R(-4;0)
D(-3;-4)
1
A(3;5)
–
B(5;4)
AB{2;-1}
B (5;4)
Радиус-вектор ON{3;2}
N(3;2)
P(2;-1)
x –
C(4;-4)
P (2;-1)
PC{2;-3}
R(-4;0)
–
C (4;-4)
T(0; 5)
Радиус-вектор OD{-3;-4}
TR{-4;-5}

9.

Найдите координаты
векторов
M(-2;7)
–
R(2;7); M(-2;7); RM
R(2; 7)
RM{-4; 0}
P(-5;1); D(-5;7); PD
D(-5;7)
– P(-5; 1)
PD{ 0; 6}
N(0; 5)
– R(-3;0)
RN{3; 5}
A(0; 3)
– B(-4;0)
BA{4; 3}
B(-2;0)
– A(-2;7)
AB{0;-7}
T(-2;-7)
– R(-7; 7)
RT{5;-14}
R(-3;0); N(0;5);
RN
A(0;3); B(-4;0);
BA
A(-2;7); B(-2;0); AB
R(-7;7); T(-2;-7); RT

10.

Обратные задачи.
Дано: AB{2;-1}, B(5;4)
Дано: AB{2;-1}, A(2;-4)
Найти:
Найти: B(x;y)
A(x;y)
B(5; 4)
–
A(x; y)
B(x; y)
–
A(2;-4)
AB{2;-1}
AB{2;-1}
5–x=2
4 – y = -1
x–2=2
y + 4= -1
x=3
y=5
x=4
y = -5

11.

Повторение
B
C
A
1
ОС (ОА ОВ )
2
O

12.

Координаты середины отрезка
1
ОС (ОА ОВ )
2
+
OA{x1;y1}
OB{x2;y2}
OA+OB {x1+x2; y1+y2} :2
y
B(x2;y2)
C (x0;y0)
1
x1+x2 y1+y2
;
}
2 (OA+OB) { 2
2
x1+x2 y1+y2
OC {
;
}
2
2
A(x1;y1)
О
x
x0=
x1+x2
2
; y0 =
y1+y2
2

13.

Каждая координата середины отрезка равна
полусумме соответствующих координат его концов.
x1+x2 y1+y2
OC {
;
}
2
y
2
B(x2;y2)
Полусумма абсцисс
x1+x2 y1+y2
C(
C
;
)
2
2
A(x1;y1)
О
x
x0=
x1+x2
2
;
Полусумма ординат
y0=
y1+y2
2

14.

y
Полусумма абсцисс
T (0;5) A(3;5)
x0=
C
B(5;4)
N(3;2)
S
1
R(-4;0)
Q
D(-3;-4)
2
P (2;-1)
V
C (4;-4)
;
Полусумма ординат
y0=
y1+y2
x
F
О
x1+x2
2
323 +0
+5
2-1+(-4)
5 +0
+4
+4
0+(-4)
5+0;;
xxx00=
=
;
;
y
y
=
=
0+(-3)
0+(-4)
0
0
=
;
y
=
xx000== 22222 ;; 0yy00==22 222
C(4;
4,5)
F(1,5;
1)
V(3;-2,5)
Q(-1,5;-2)
S(-2;2,5)

15.

Найдите координаты
cередин отрезков
R(2;7); M(-2;7);
2+(-2) 7 + 7
C(
;
);
2
2
P(-5;1); D(-5;7);
-5+(-5) 1 + 7
(
;
); C(-5; 4)
C
R(-3;0); N(0;5);
-3 + 0 0 + 5
C ( 2 ; 2 );
A(0;-6); B(-4;2);
0+(-4) -6+2
(
;
); C(-2;-2)
C
A(7;7); B(-2;0);
7+(-2) 7 + 0
C(
;
);
2
2
2
2
C(0; 7)
2
C(-1,5; 2,5)
2
C(2,5; 3,5)
R(-7;4); T(-2;-7); C ( -7+(-2) ; 4+(-7)); C(-4,5;-1,5)
2
2

16.

Обратная задача.
Дано: A(5; 4); C(-3; 2) – середина отрезка AB
Найти:
x 0=
-3=
B(x; y)
x1+x2
2
5+x
2
;
; 2
A(5; 4)
C(-3; 2)
y0=
2=
B(x; y)
y1+y2
2
4+y
2
–6=5+x
4=4+y
x = – 11
y=0
;
2
B(-11; 0)

17.

Вычисление длины вектора по его координатам
OA2=OA12 + AA12
y
OA2= x2 + y2
OA
OA= a{x;y}
A (x;y)
A2
y
О
a
OA = x2 + y2
=
x
A1
x
=

18.

Расстояние между двумя точками
y
M2(x2;y2)
–
d
M2(x2;y2)
M1(x1;y1)
M1M2 {x2–x1; y2–y1}
M1(x1;y1)
O
x
a = x2 + y2
M1M2 = (x2–x1)2+(y2–y1)2
d = (x2–x1)2+(y2–y1)2

19.

№ 940
Найдите расстояние между точками
A(2;7) и B(-2;7)
2 способ
1 способ
a =
1)
x2 + y 2
B(-2; 7)
–
A( 2; 7)
M1M2 = (x2–x1)2+(y2–y1)2
AB = (–2–2)2+(7– 7)2
AB{-4; 0}
2)
AB = (-4)2 + 02 = 16 = 4

20.

ABCО – прямоугольная трапеция. Найдите координаты
точек
A, B, C, O, N и P, где N и P – середины
диагоналей OB и AC соответственно.
y
N(1,5; 1,5); P(1,5; 2,5)
C (0;5)
Найдите координаты векторов
5
P
N
O
3
B (3;3)
CA {3;-5}
AB {0; 3}
NP {0; 1}
Найдите
3
A(3;0)
OB {3; 3}
x
CA = 32 + (-5)2
NP = 02 + 12

21.

ABCО – прямоугольная трапеция. Найдите координаты
точек
A, B, C, O, N и P, где N и P – середины
диагоналей AC и OB соответственно.
y
N(-1; 2);
P(-4; 2)
Найдите координаты векторов
B (-8;4)
8
A (0;4)
N
2
C(-2;0)
4
P
OA{0; 4}
CA {2; 4}
AB {-8;0}
NP {-3;0}
Найдите
x
CA = 22 + 42
O
NP = (-3)2 + 02