Алгебра логики. Логика. История науки

1.

Алгебра логики
Логика.
История науки.

2.

История возникновения логики
Логика (от древнегреческого λογικος —
“наука о рассуждении”) — это наука о том, как
правильно
рассуждать,
делать
выводы,
доказывать утверждения.
Формальная логика
отвлекается
от
конкретного содержания,
изучает
только
истинность и ложность
высказываний.

3.

История возникновения логики
Первоначально логика зародилась в недрах
единой всеобъемлющей
науки — философии,
которая тогда объединяла всю совокупность знаний
о мире, о самом человеке и о его мышлении.
В IV в. до н.э. логика начинает развиваться
под влиянием возросшего интереса к ораторскому
искусству.

4.

Основы формальной логики
заложил известный ученый
Древней Греции Аристотель
В
определении
Аристотеля
логика
представляет собой науку о выводе одних
умозаключений из других сообразно их
логической форме.
Аристотель
(384-322 г.г. до н.э.)
• работал над теорией умозаключений и
доказательств;
• отделил
форму
мышления
от
содержания;
• сформулировал
основные
законы
мышления, в том числе законы
противоречия и исключения третьего;
• показал связь между логикой и
математикой;
• описал ряд логических операций…

5.

Идею логического исчисления
разработал немецкий ученый
Вильгельм Лейбниц
Готфрид
Вильгельм Лейбниц
(1646 — 1716 г.г.)
• написал «Азбуку мыслей»;
• разработал сжатый и краткий язык
символов;
• разработал идеи математизации
логического анализа;
• обосновал роль тождества и различия в
умозаключениях ;
• сформулировал законы
коммутативности и идемпотентности ;
• определил необходимость создания
вероятностной логики и логики
отношений…

6.

Основоположником алгебры
логики был английский ученый
Джордж Буль
Джордж Буль
(1815-1864 г.г.)
Труды Буля, созданные в 1847 и 1854 годах,
служили фундаментом алгебры логики.
Математик доказал в них существование
сходства между действиями в алгебре и в
логике высказываний.
Благодаря созданной Булем системе стала
возможна кодировка высказываний.
Он показал, как из любого числа
высказываний, включающих любое число
терминов, вывести любое заключение,
следующее из этих высказываний, путём
чисто символических манипуляций.

7.

Большой вклад в развитие науки
логики внес шотландский математик и
логик, профессор математики
университетского колледжа в
Лондоне, первый президент
Лондонского математического
общества Огастес (Август) де Морган
Огастес де Морган
(1806 — 1871 гг.)
• к своим идеям в алгебре логики пришёл
независимо от Дж. Буля;
• изложил
элементы
логики
высказываний и логики классов;
• дал первую развитую систему алгебры
отношений;
• с его именем связаны известные
теоретико-множественные соотношения
(законы де Моргана)…

8.

Определение алгебры логики как науки
Алгебра – это раздел математики, предназначенный
для описания действий над переменными величинами,
которые принято обозначать строчными латинскими
буквами, например a, b, x, y и т.д. Действия над
переменными
величинами
записываются
в
виде
математических выражений.
Алгебра логики (алгебра высказываний) – раздел
математической
логики,
изучающий
логические
высказывания и методы установления их истинности
или ложности с помощью алгебраических методов.

9.

Высказывания
Высказывания — это основной элемент логики,
которым обозначается предложение какого-либо языка
(естественного или искусственного), рассматриваемого лишь
в связи с его истинностью.
Отличительным признаком любого высказывания
является его свойство быть истинным или ложным.
Примеры:
1)«Земля — планета солнечной системы» (истинное);
2)«Всякий четырехугольник есть трапеция» (ложное);
3)«Всякий ромб есть параллелограмм» (истинное);
4)«13 + 5 > 25» (ложное).

10.

Высказывания
Не все выражения являются высказываниями.
Пример:
1)«На улице холодно»
Не является высказыванием, так как в данном
выражении не определены критерии холодной погоды.
Поэтому нельзя установить истинность данного выражения.
2) «2x + 5 < 10»
Не является высказыванием, так как неизвестно
какие значения может принимать переменная x.
3) «Прекрасно!» – не является высказыванием, так
как это восклицательное предложение.
4) «Который час?» - не является высказыванием,
так как это вопросительное предложение.

11.

Высказывания
Высказывание не может быть выражено
повелительным
или
вопросительным
предложением, так как оценка их истинности или
ложности невозможна
Любое
определение
не
может
быть
высказыванием, так как определения не могут быть
истинными или ложными. Они фиксируют принятое
использование терминов

12.

Простые и сложные высказывания
Высказывания бывают простые и сложные.
Простые высказывания нельзя разделить на более мелкие
высказывания.
В простом высказывании никакая его часть не
является высказыванием.
Простые высказывания называются логическими
переменными и обозначаются большими буквами
Пример:
А= «Сейчас идет дождь»;
В= «Дует ветер»;
С= «3 + 2 = 5»;
D=«Форточка открыта».

13.

Простые и сложные высказывания
Используя простые высказывания, можно образовывать
сложные, или составные, высказывания, в которые
простые входят в качестве элементарных составляющих.
Составные высказывания строятся из простых с
помощью логических связок (операций) «и», «или», «не»,
«если …, то», «тогда и только тогда» и других.

14.

Простые и сложные высказывания
Рассмотрим несколько примеров сложных высказываний:
Пусть А=«Ветер дует»; В=«Идет дождь»
1. «Ветер дует и идет дождь»
АиВ
2. «Дует ветер или идет дождь»
А или В
3. «Если ветер дует, то нет дождя»
Если А, то не В
4. «Ветер дует тогда и только тогда, когда идет
дождь»
А тогда и только тогда, когда В

15.

Простые и сложные высказывания
Основная задача логики высказываний
заключается в том, чтобы на основании истинности
или ложности простых высказываний определить
истинность или ложность сложных высказываний
Пример:
• «2<5<15» (истинное) ;
• «Число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма
цифр этого числа делится на 7» (ложное).

16.

Применение алгебры логики
Практическое применение алгебры логики:
в повседневных рассуждениях;
в математике для определения истинности или
ложности некоторого высказывания (под
высказываниями понимаются математические
формулы);
в вычислительной технике (законы алгебры логики
реализуются конкретными техническими средствами,
например, создаются устройства, реализующие
некоторые логические функции).