Элементы комбинаторики. Перестановки

1.

Элементы комбинаторики.
Перестановки.

2.

Содержание
1
Что такое «факториал»?
2
Перестановки
3
Решаем на уроке
4
Решаем самостоятельно
5
Домашнее задание

3.

Что такое «факториал»?
Произведение всех натуральных чисел от 1 до n (n > 1)
обозначают n! (читают «эн факториал»):
1 · 2 · 3 · … · n = n!
Например,
2! = 1 · 2, 3! = 1 · 2 · 3, 4! = 1 · 2 · 3 · 4,
5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5
Считают, что
1! = 1
0! = 1

4.

Перестановки
• Простейшими комбинациями, которые можно составить из
элементов конечного множества, являются перестановки.
Например, буквы a и b могут быть записаны в ряд
двумя способами:
ab или ba

5.

Перестановки
Вспомним ПРИМЕР 2. Запишите все трехзначные числа, в записи которых используются
цифры 1, 2 и 3 без повторения.
В решении 1-м способом мы ставили на 1-ое место сначала цифру 1, на 2-е место одну
из цифр 2 или 3, на 3-е место – оставшуюся цифру. Далее на первое место мы ставили
цифру 2, в конце на первое место ставили цифру 3. Получили 6 чисел, полученных
перестановкой цифр 1, 2 и 3.
123
132
213
231
312
321
Первой цифрой может быть любая из 3-х цифр, второй цифрой – любая из 2-х оставшихся цифр,
третьей цифрой – одна цифра.
По правилу умножения количество чисел, в записи которых используются цифры 1, 2 и 3 без
повторения, равно:
3 · 2 · 1 = 3!

6.

Перестановки
Перестановкой из n элементов называется каждое
расположение этих элементов в определенном порядке.
Число перестановок из n элементов обозначают символом Pn
(читается «P из n», от франц. permulation - перестановка).
Число перестановок рассчитывается по формуле:
Pn = n!

7.

Решение задач
Задача 1. … Проказница-Мартышка,
Осел, Козел да Косолапый Мишка
Затеяли сыграть квартет…
Выясните, сколькими способами они могут сесть со своими инструментами на четыре места.
Решение.
P4 = 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24 (способа)
А вы, друзья, как ни садитесь,
Все в музыканты не годитесь.

8.

Решение задач
Задача 2. Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются,
можно составить из цифр 0, 2, 4, 6 ?
Решение.
Из цифр 0, 2, 4, 6 можно получить P4 перестановок. Но из них надо исключить те
перестановки, которые начинаются с 0, так как натуральное число не может начинаться
с цифры 0. Сколько таких перестановок?
P3
Таким образом,
P4 - P3 = 4! – 3! = 24 – 6 = 18

9.

Решение задач
Задача 3. Имеется девять различных книг, четыре из которых – учебники.
Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли
рядом?
Решение.
1.
Сначала будем рассматривать все учебники как одну книгу. Тогда на полке надо
расставить не 9, а …
6 книг.
Сколькими способами это можно сделать?
P6
2. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить перестановки учебников.
Сколько перестановок учебников можно сделать?
P4
3.Таким образом, искомое число способов расположения книг на полке равно…
P6 · P4 = 6! · 4! = 720 · 24 = 17 280

10.

Решаем на уроке
№4. Сколько среди четырехзначных чисел, составленных из цифр 3, 5, 7, 9
(без их повторения) таких, которые: а)начинаются с цифры 3?
б) кратны 15 ?
Решение.
а) P3 = 3! = 1 · 2 · 3 = 6
б) На 3 будет делиться любое число, составленное из данных чисел, так как сумма цифр равна
24 (делится на 3). Чтобы число делилось на 5, оно должно оканчиваться на 5.
Таких чисел P3 = 3! = 6

11.

Решаем на уроке
№5 . Семь мальчиков, в число которых входят Олег и Игорь, становятся в ряд. Найдите число
возможных комбинаций, удовлетворяющих условию:
а) мальчики располагаются в произвольном порядке.
P7 = 7! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 5040
б) Олег должен стоять в начале ряда, а Игорь – в конце.
Таких комбинаций:
P5 = 5! = 120
в) Олег и Игорь должны стоять рядом в произвольном
порядке. Таких комбинаций:
P6 · P2 = 6! · 2! = 720 · 2 = 1440
г) Олег и Игорь должны стоять рядом, причем Игорь
должен находиться впереди Олега. Таких комбинаций:
P6 = 6! = 720
Олег
Игорь

12.

Решаем самостоятельно

13.

Домашнее задание.