mathematicsSimilar presentations:
Числовые функции и их свойства
1. Математический анализ
• Числовые функции и их свойства• Элементарные функции
• Предел функции в точке и на
бесконечности
•Y=f(x)
2. Понятие функции
•Y=f(x)Понятие функции
Аналитический
Определение.
Если для каждого значения переменной x,
принадлежащей числовому множеству D по
некоторому правилу ( по формуле) задается
единственное значение y из числового
множества М, то говорят, что задана функция
y x 2 ; y sin x ; y
Y=f(x)
f – обозначение функции (правила, формулы)
D - область определения функции, х – аргумент
М - область значений функции, y – значение
функции
Способы задания функции.
1. Аналитический (формула).
2.Табличный.
3.Графический.
x 1
2x 3
Табличный
Х
x1
x2
…
xn
Y
y1
y2
…
yn
3. Графический способ задания функции
•Y=f(x)Графический способ задания функции
Y
Определение.
Графиком функции Y=f(x) называется множество точек P(x,Y) на плоскости
XOY, абсциссами которых являются значения аргумента х, а ординатами
– соответствующие значения функции Y=f(x)
M
Y
P(x,f(x))
Примеры. 1. Линейная функция
y kx b
D
0
x
2. Квадратичная функция
X
y x2
3. Числовая последовательность
y x2
a1 , a2 , , an ,
y
y
- как функция целочисленного аргумента
Y=kx+b
0
х
0
n N
an f (n)
x
1
an
1
2
1
n
1
3
0
1
2
3
4.
•Y=f(x)5.
•Y=f(x)6.
•Y=f(x)7.
•Y=f(x)8.
•Y=f(x)9.
•Y=f(x)10.
•Y=f(x)11.
•Y=f(x)12.
•Y=f(x)13.
•Y=f(x)14.
•Y=f(x)15.
•Y=f(x)16.
•Y=f(x)17.
•Y=f(x)18.
•Y=f(x)19.
•Y=f(x)20.
•Y=f(x)21.
•Y=f(x)22.
•Y=f(x)23.
•Y=f(x)24.
•Y=f(x)25.
•Y=f(x)26.
Тангенсy = tg(x)
•Y=f(x)
27.
•Y=f(x)28.
•Y=f(x)29.
•Y=f(x)30.
•Y=f(x)31.
Обратные функции –показательная и логарифмическая
•Y=f(x)
32.
•Y=f(x)33.
•Y=f(x)34.
•Y=f(x)35.
•Y=f(x)36.
•Y=f(x)37.
•Y=f(x)38.
•Y=f(x)ε-окрестность точки
39. Предел функции в точке
•Y=f(x)Предел функции в точке
y
-окрестность
y=f(x)
Определение.
Число b называется пределом функции f(x)
при x a, если для любого
положительного существует такое
положительное , зависящее от , что
для всех х таких, что 0 x a
выполняется неравенство
f ( x) b
f(x)
lim f ( x) b 0 ( ) 0 :
b
x a
x : 0 x a f ( x) b
0
a
х
-окрестность
х
•Число b называется пределом функции f(x) при
x a , если
• для любой -окрестности точки b
• существует такая
-окрестность точки a,
• что для всех х из -окрестности
y=f(x)
• значения
будут принадлежать окрестности.
40.
•Y=f(x)41. Предел функции.
•Y=f(x)Предел функции.
Пример.
lim x 2 4
x 2
-окрестность
y x2
y
Для произвольной
-окрестности
точки 4 оси OY существует -окрестность
точки 2 на оси OX такая, что при всех
значениях х из -окрестности значения
y x 2 будут принадлежать -окрестности
4
3
2
1
-окрестность
-1
0
1
2
х
42. Предел функции в точке
•Y=f(x)Предел функции в точке
Частный случай предела.
lim f ( x) 0
x a
Определение.
Функция f(x) называется бесконечно малой
при x a , если lim f ( x) 0
x a
Геометрическая интерпретация.
y
-окрестность
Функция f(x) называется бесконечно малой
при x a , если
0 ( ) 0 :
x : 0 x a f ( x)
0
y=f(x)
a
х
-окрестность
43. Предел функции на бесконечности
•Y=f(x)Предел функции на бесконечности
Предел функции при
Определение.
x
Геометрическая интерпретация.
y
lim f ( x) b 0 M M ( ) 0 :
x
x : х M f ( x) b
•Число b называется пределом функции f(x)
при x , если для любого
положительного существует такое
положительное М , зависящее от , что
для всех х таких, что х М , выполняется
неравенство
f ( x) b
Предел функции при
Д,з.
x
Дайте определение
и геометрическую интерпретацию
предела при x
y=f(x)
b
0
м
-окрестность
х
44.
•Y=f(x)45. Предел функции
•Y=f(x)Предел функции
Односторонние пределы.
– 1. Правосторонний предел в точке.
lim f ( x) b
y
Определение.
Число b называется правосторонним пределом
функции f(x) в точке a, если для любого
положительного
существует такое
положительное , зависящее от
, что для
всех х таких, что 0 x a , выполняется
неравенство
x a 0
y=f(x)
b
f ( x) b
a
0
2. Левосторонний предел в точке.
Определение.
y
•Число b называется левосторонним пределом
функции f(x) в точке a, если для любого
положительного
существует такое
положительное , зависящее от
, что
для всех х таких, что 0 a x ,
выполняется неравенство
f ( x) b
lim f ( x) b
x a 0
b
0
х
y=f(x)
a
х
46.
•Y=f(x)Утверждение.
1. Если существует lim f ( x) b ,
x a
то существуют односторонние пределы
Геометрическая иллюстрация.
y
lim f ( x) b и lim f ( x) b
y=f(x)
x a 0
x a 0
( они равны между собой).
2. Если существуют оба односторонних предела
b
lim f ( x) b и lim f ( x) b
x a 0
x a 0
(равные между собой),
то существует lim f ( x) b
Другие обозначения односторонних пределов:
Правосторонний предел –
Левосторонний предел –
x a
f (a 0)
f (a 0)
0
a
х