2.06M

Category: $mathematics$ mathematics

Планирование эксперимента в электромеханике

1.

Планирование эксперимента в электромеханике
Схема факторного эксперимента
О – объект исследования; Z1 … Zi – параметры объекта исследования;
X1 … Xi – факторы – внешние воздействия, которые экспериментатор может
изменять однозначно по своему усмотрению;
Y1 … Yi – выходные величины (функции отклика), которые показывают, как объект
исследования реагирует на изменяемые экспериментатором внешние
воздействия;
E1 … Ei – неконтролируемые внешние факторы

2.

Планирование эксперимента в электромеханике
Внутренняя структура объекта исследования в факторном эксперименте
может быть известна (например, система дифференциальных уравнений,
электрическая схема и т.п.), либо неизвестна.
Основная задача факторного эксперимента состоит в получении
зависимости функций отклика от факторов
Эта зависимость может иметь вид полиномов n-й степени, которые принято
называть уравнениями регрессии.

3.

Планирование эксперимента в электромеханике
Для нахождения коэффициентов bi используется метод наименьших
квадратов
Пример
Проводится эксперимент; записываются в таблицу соответствующие друг
другу значения факторов и функции отклика, например Xk и Yk.
Предполагается, что расчетное уравнение зависимости имеет вид
необходимо найти постоянные коэффициенты b0 и b1

4.

Планирование эксперимента в электромеханике
Применяем метод наименьших квадратов
- значение функции отклика, рассчитанная по приведенной зависимости
при текущем значении Xk ;
Yk - текущее опытное значение функции отклика при текущем значении Xk;
k – номер значения (функции отклика и фактора);
N – количество опытных значений Xk (или Yk )

5.

Планирование эксперимента в электромеханике
Для нахождения b0 и b1 величина Q дифференцируется сначала по b0,
затем по b1; производные приравниваются нулю
и находятся коэффициенты для зависимости

6.

Планирование эксперимента в электромеханике
Если имеется несколько факторов и несколько функций отклика, то для
каждой функции отклика записывается величина Q, берется производная
по каждому коэффициенту и приравнивается к нулю.
Затем находятся коэффициенты bi
Для упорядочения расчета коэффициентов уравнений регрессии
составляют сначала специальные планы эксперимента, в которых
значения факторов повторяются в определенном порядке.

7.

Планирование эксперимента в электромеханике
Для удобства расчетов производится кодирование факторов, то есть
переход к специальным кодированным (относительным) единицам.
Кодирование производится по формуле:
,
где
- кодированное значение фактора;
- натуральное значение фактора (в физических единицах);
- максимальное и минимальное значения фактора при
проведении эксперимента

8.

Планирование эксперимента в электромеханике
- среднее значение фактора или базовый (нулевой)
уровень;
- интервал варьирования
факторов при проведении эксперимента

9.

Планирование эксперимента в электромеханике

10.

Планирование эксперимента в электромеханике
Количество возможных значений данного фактора в эксперименте называется
количеством уровней варьирования (С).
Количество уровней варьирования факторов С может быть равно или 2 (max/min),
или 3 (max/min/cpеднее) или быть иным.
В зависимости от получаемого уравнения, связывающего функции отклика и
факторы
, различают виды факторного эксперимента:
1. ПФЭ – полный факторный эксперимент.
2. ДФЭ – дробный факторный эксперимент.
3. ФЭ второго порядка (зависимости не линейны)
4. Замена переменных (вместо факторов берут их нелинейные зависимости).

11.

Планирование эксперимента в электромеханике
Полный факторный эксперимент (ПФЭ)
позволяет получить уравнение регрессии в виде следующего полинома
,
где y – функция отклика (исследуемый показатель объекта);
b0 , bi , bj – коэффициенты полинома;
xi , xj – кодированные факторы;
m – количество факторов.

12.

Планирование эксперимента в электромеханике
Количество опытов ПФЭ определяется следующим образом:
где c – количество уровней варьирования;
m – количество факторов
На основе рассчитанного количества опытов составляется матрица
планирования – таблица, в которой приводятся сочетание уровней
факторов в каждом из N опытов.
С помощью матрицы планирования определяются уровни, получающиеся
при взаимодействии факторов, а также коэффициенты уравнения регрессии

13.

Планирование эксперимента в электромеханике
Матрица планирования ПФЭ типа 23

14.

Планирование эксперимента в электромеханике
В ПФЭ варьирование проводится на двух уровнях – верхнем и нижнем. В
качестве базовых значений (нулевой уровень) используются номинальные
значения варьируемых величин.
Тогда значения факторов на верхнем и нижнем уровнях в физических
единицах определяются:

15.

Планирование эксперимента в электромеханике
Фактор x0 является фиктивным. Он вводится для того, чтобы матрица ПФЭ
была ортогональной (произведение строк на столбцы матрицы равно нулю).
Это необходимо для упрощения нахождения коэффициентов уравнения
регрессии.
Z1 … Z7 – вспомогательные переменные
Проводятся N опытов при различных значениях факторов xi , определяются
соответствующие им значения функции отклика и заносятся в матрицу
планирования.
При осуществлении натурного факторного эксперимента необходимо неоднократное повторение (дублирование) каждого из N опытов с
дальнейшим расчетом среднего значения функции отклика yk и ее
дисперсии в каждом опыте для оценки его воспроизводимости

16.

Планирование эксперимента в электромеханике

17.

Планирование эксперимента в электромеханике

18.

Планирование эксперимента в электромеханике
Коэффициенты уравнений регрессии могут иметь различные значения;
часть из них могут быть слишком малы (незначимы), и поэтому их можно
отбросить.
Для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии в
вычислительном эксперименте находится дисперсия эксперимента (или
дисперсия полинома):
,
где yном – значение функции отклика, рассчитанное при нулевых
(номинальных) уровнях факторов;
А - доверительный интервал (допустимая погрешность),% (обычно А = 5%)

19.

Планирование эксперимента в электромеханике
Для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии в
натурном эксперименте дисперсия эксперимента равна
,
где
- дисперсия опыта;
- среднее значение функции отклика в опыте;
ykj – значение функции отклика в каждом дубле данного опыта;
n – количество дублей данного опыта;
j – номер дубля данного опыта; k – номер данного опыта; N – количество
опытов ПФЭ

20.

Планирование эксперимента в электромеханике
Затем вычисляется дисперсия коэффициента
,
где N – количество опытов ПФЭ
Далее для каждого коэффициента каждого уравнения регрессии
рассчитывается величина t-критерия Стьюдента:
Значение t-критерия – число всегда положительное, поэтому значения
коэффициентов берутся по модулю

21.

Планирование эксперимента в электромеханике
По таблице распределения Стьюдента определяется tтабл по значениям:
ν - число степеней свободы (разница между числом различных опытов и
числом констант, найденных по эти опытам); β - доверительная вероятность

22.

Планирование эксперимента в электромеханике

23.

Планирование эксперимента в электромеханике
Проверка адекватности сокращенных уравнений регрессии
Проверка адекватности полученных в результате сокращения полиномов
проводится с помощью F-критерия Фишера.
Сначала рассчитываются значения функций отклика
по сокращенным
полиномам для каждого опыта матрицы планирования. Значения
кодированных факторов и их сочетаний берутся из матрицы ПФЭ
Далее рассчитывается дисперсия адекватности, которая характеризует
рассеяние результатов эксперимента относительно сокращенного
полинома:

24.

Планирование эксперимента в электромеханике
где N – количество опытов ПФЭ;
di – количество оставшихся (значимых) коэффициентов полинома (у
каждого полинома будет свое число di );
– значение функции отклика, полученное в k-м опыте (из результатов
заполнения матрицы планирования);
– значение функции отклика, рассчитанное по сокращенному
полиному в k-м опыте.
Далее рассчитываются значения F-критерия Фишера для каждого уравнения
регрессии (полинома):

25.

Планирование эксперимента в электромеханике
По таблице критерия Фишера находится Fтабл по значениям числа степеней
свободы:

26.

Планирование эксперимента в электромеханике
Если рассчитанное значение критерия Фишера F < Fтабл , то сокращенный
полином является адекватным эксперименту (то есть расхождение
экспериментальных значений и значений, рассчитанных по сокращенному
полиному, находится в пределах заданной точности).
Если F > Fтабл , то полином не является адекватным. В этом случае ПФЭ
следует повторить с меньшим интервалом варьирования
, или увеличить
значение доверительного интервала А (в вычислительном эксперименте).
Также можно перейти к плану эксперимента более высокого порядка

27.

Планирование эксперимента в электромеханике
Ортогональный центрально-композиционный план второго порядка
(ОЦКП)

28.

Планирование эксперимента в электромеханике
Ортогональный – означает, что погрешность (расхождение) между опытной
и расчетной зависимостями определяется вдоль направления осей
координат.
Погрешность по разным направлениям разная, но матрица планирования
проще.
Сумма по каждому столбцу матрицы планирования равна нулю, кроме x0.
Это облегчает нахождение коэффициентов уравнения регрессии.
Композиционный - означает, что можно выразить функцию отклика через
факторы в аналитическом виде (через формулы)
Центральный – означает, что опыты проводятся не только при max и min
значениях факторов, но и при номинальных (xср = 0).

29.

Планирование эксперимента в электромеханике
Дополнительно к опытам на минимальном, нулевом и максимальном
уровнях к значениям факторов добавляются «звездные точки».
В «звездных точках» факторы в кодированных единицах отличаются от
единицы и от нуля и равны α - звездному плечу, которое зависит от числа
факторов m
Количество опытов в ОЦКП равно:
Уравнение регрессии в ОЦКП имеет вид:

30.

Планирование эксперимента в электромеханике
Для того, чтобы матрица планирования эксперимента давала ноль в сумме
по столбцу – необходимо дополнительные преобразования факторов.

31.

Планирование эксперимента в электромеханике
Матрица планирования ОЦКП при m = 3 (α = 1,215)

32.

Планирование эксперимента в электромеханике
Коэффициенты уравнения регрессии ОЦКП рассчитываются по формуле:
ОЦКП дает более точное приближение расчетной зависимости функции
отклика от факторов y=f(xi) к результатам опыта по сравнению с ПФЭ.
Основной недостаток ОЦКП:
различная погрешность по разным направлениям факторного пространства.
(Факторное пространство – совокупность всех значений факторов)

33.

Планирование эксперимента в электромеханике
Рототабельный центрально-композиционный план (РЦКП)
Количество опытов РЦКП:
где N0 - количество опытов с нулевыми значениями факторов (в
кодированных единицах);
NПФЭ - количество опытов для ПФЭ, NПФЭ = 2m;
Nα - количество опытов в «звездных точках»
Уравнение регрессии РЦКП:

34.

Планирование эксперимента в электромеханике
Матрица планирования рототабельного плана не ортогональна (сумма по
столбцу не равна нулю). Это усложняет расчет коэффициентов уравнения
регрессии:
k-номер опыта; i,j-номера факторов;
- величина, зависящая от
количества опытов, количества факторов и звездного плеча.
РЦКП применяется редко, так как очень трудоемок

35.

Планирование эксперимента в электромеханике
Дробный факторный эксперимент (ДФЭ)
Применяется тогда, когда заранее известно, что зависимость функции
отклика от фактора - линейная.
Количество опытов ДФЭ
, , обычно l = 1.
Уравнение регрессии имеет линейный вид:
Коэффициенты рассчитываются так:

36.

Планирование эксперимента в электромеханике
Пример ДФЭ для m=3
Число опытов
Вид уравнения регрессии:
При этом можно считать, что
Матрица планирования ДФЭ:

37.

Планирование эксперимента в электромеханике
Преимущества ДФЭ:
- уменьшение количества опытов
Недостатки ДФЭ
- возрастает погрешность эксперимента
Если ДФЭ или ПФЭ не обеспечивает необходимой точности для зависимости
y=f(xi), то можно применить
преобразование независимых переменных (замена переменных)

38.

Планирование эксперимента в электромеханике
Мультипликативные модели, получаемые с помощью ПФЭ
При этом в матрице планирования ПФЭ вместо факторов xi используются их
натуральные логарифмы.
Тогда уравнение регрессии будет иметь вид:
После преобразования получается мультипликативное выражение (т.е. в
виде множителей):

39.

Планирование эксперимента в электромеханике
Решение оптимизационных задач с помощью ПФЭ
В общем случае оптимизация факторов на основе уравнений регрессии
графическим методом осуществляется в m-мерном пространстве (m –
количество факторов).
При двух факторах графическое решение осуществляется на плоскости,
которая называется латинский квадрат