Решение неравенств с модулем

1.

2.

Что такое модуль?
Как решаются неравенства?

3.

:
. Есть два определения: алгебраическое и графическое.
Алгебраическое определение. Модуль числа x — это либо
само это число, если оно неотрицательно, либо число, ему
противоположное, если исходный x— всё-таки отрицателен.
Записывается это так:
|x|={x, x≥0,−x, x<0.|x|={x, x≥0,−x, x<0.
Говоря простым языком, модуль — это «число без минуса».
Геометрическое определение. Пусть на числовой прямой
отмечена точка a. Тогда модулем |x−a| называется расстояние
от точки x до точки a на этой прямой.
Из определения модуля сразу следует его ключевое
свойство: модуль числа всегда является величиной
неотрицательной.

4.

Методов решения неравенств множество.
Рассмотрим некоторые из них
Метод интервалов для неравенств
Дробно-рациональные неравенства

5.

.
Это одна из самых часто встречающихся задач с
модулями. Требуется решить неравенство вида:
|f|<g
В роли функций f и g может выступать что угодно, но
обычно это многочлены
Все они решаются по схеме:
|f|<g⇒−g<f<g(⇒{f<g,f>−g)|f|<g⇒−g<f<g(⇒{f<g,f>−g)
Нетрудно заметить, что избавляемся от модуля, но
взамен получаем двойное неравенство (или, что тоже
самое, систему из двух неравенств). Зато этот переход
учитывает абсолютно все возможные проблемы: если
число под модулем положительно, метод работает; если
отрицательно — всё равно работает; и даже при самой
неадекватной функции на месте f или g метод всё равно
сработает.

6.

Выглядят они так:
|f|>g
Похоже на предыдущее? Похоже. И тем не менее решаются такие
задачи совсем по-другому. Формально схема следующая:
|f|>g⇒[f>g,f<−g|f|>g⇒[f>g,f<−g
Другими словами, мы рассматриваем два случая:
Сначала решаем обычное неравенство без учета модуля
Затем по сути раскрываем модуль со знаком «минус», а затем
умножаем обе части неравенства на −1, меня при этом знак.
При этом варианты объединены квадратной скобкой, т.е. перед нами
совокупность двух требований.
Обратите внимание ещё раз: перед нами не система, а совокупность,
поэтому в ответе множества объединяются, а не пересекаются.
«∪» — это знак объединения. По сути, это стилизованная буква «U»,
которая пришла к нам из английского языка и является
аббревиатурой от «Union», т.е. «Объединения».
«∩» — это знак пересечения. Это просто противопоставление к «∪».

7.

Выписать все подмодульные выражения и
приравнять их к нулю;
Решить полученные уравнения и отметить
найденные корни на одной числовой
прямой;
Прямая разобьётся на несколько участков,
внутри которого каждый модуль имеет
фиксированный знак и потому однозначно
раскрывается;
Решить неравенство на каждом таком
участке