Подобные треугольники

1.

Подобные
треугольники

2. Подобные фигуры

Фигуры принято называть подобными, если они
имеют одинаковую форму (похожи по виду).

3.

Подобие в жизни(карты местности)

4.

треугольники называются подобными, если
их углы соответственно равны и стороны одного
треугольника пропорциональны соответственным
сторонам другого треугольника.
Определение:
В1
В
С1
С
А
А1
А1=
А1В1
АВ
А,
В1 =
В1С1
ВС
В,
С1 =
А1С1
АС
С
k
A1B1C1
~
ABC
K – коэффициент подобия
Соответственными сторонами в подобных треугольниках
называются стороны, лежащие против равных углов.

5.

Подобные треугольники
В1
В
A1B1C1
С1
С
~
ABC,
K – коэффициент подобия
А
А1
А 1=
АВ
А1В1
А,
В1 =
ВС
В1С1
В,
С1 =
АС
А1С1
С,
1
k
ABC
~
A1B1C1,
1
– коэффициент подобия
k

6.

Лемма - вспомогательная теорема, которую
используют для доказательства других
теорем.
ЛЕММА О ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКАХ
Прямая, параллельная стороне треугольника
и пересекающая две другие его стороны,
отсекает от данного треугольника ему
подобный.

7.

Теорема 1. Отношение периметров подобных треугольников
равно коэффициенту подобия.
К
Дано:
B
C
Е
~
АВС,
K – коэффициент
подобия.
Доказать: РМКЕ : РАВС = k
A
М
МКЕ
Доказательство:
Т. к. по условию
МК
АВ
КЕ
ВС
МЕ
АС
МКЕ ~
K,
АВС, k – коэффициент подобия, то
Значит, МК = k ∙ АВ, КЕ = k ∙ ВС, МЕ = k ∙ АС.
РМКЕ = МК + КЕ + МЕ = k ∙ АВ + k ∙ ВС + k ∙ АС = k ∙ (АВ + ВС + АС) = k ∙ РАВС.
Значит, РМКЕ : РАВС = k.

8.

Теорема 2. Отношение площадей подобных
треугольников равно квадрату коэффициентa подобия.
Дано:
К
B
C
A
Доказать: SМКЕ : SАВС = k2
Доказательство:
Т. к. по условию
M=
SMKE
SABC
МКЕ ~
A, MK
AB
MK ∙ ME
AB ∙ AC
ME
AC
АВС, k – коэффициент подобия, то
k,
значит, МК = k∙АВ, МЕ = k∙АС.
k∙АВ ∙ k∙АС
АВ ∙ АС
АВС,
K – коэффициент
подобия.
Е
М
МКЕ ~
k2

9. Реши задачи

1. Найти стороны А1В1С1, подобного
АВ = 6, ВС= 12. АС = 9 и k = 3 .
2. Найти стороны А1В1С1, подобного
АВ = 6, ВС= 12. АС = 9 и k = 1/3.
АВС, если
АВС, если
3. По данным на чертеже найти стороны АВ и В1С1
подобных треугольников АВС и А1В1С1:
В
В1
4
?
?
2,5
А
6
С
А1
3
С1

10. Реши задачи

1. Две сходственные стороны подобных треугольников равны
8 см и 4 см. Периметр второго треугольника равен 12 см.
Чему равен периметр первого треугольника ?
2. Две сходственные стороны подобных треугольников равны
9 см и 3 см. Площадь второго треугольника равна 9 см2.
Чему равна площадь первого треугольника ?
3. Две сходственные стороны подобных треугольников равны
5 см и 10 см. Площадь второго треугольника равна 32 см2.
Чему равна площадь первого треугольника ?
4. Площади двух подобных треугольников равны 12 см2 и 48 см2.
Одна из сторон первого треугольника равна 4 см. Чему равна
сходственная сторона второго треугольника ?
24 см
81 см2
8 см2
8 см