Поверхности второго порядка. Тема 13

1.

§13. Поверхности второго
порядка
п.1. Цилиндрические поверхности.
Цилиндрической поверхностью называется
поверхность, составленная из всех прямых,
пересекающих данную линию L и
параллельных данной прямой l.
Линия L называется направляющей
цилиндрической поверхности.
Каждая из параллельных прямых,
составляющих поверхноссть называется
образующей.

2.

Рассмотрим цилиндрические поверхности с
направляющими, лежащими в одной из
координатных плоскостей, и образующими,
перпендикулярными этой плоскости.
Уравнение цилиндра с образующими,
параллельными оси Oz, имеет следующий вид
F ( x , y ) 0.
В этом уравнении отсутствует координата z.
Аналогичные утверждения справедливы и для
других случаев размещения образующих.

3.

Пример.
y x
x y 0
2
2
x y 0
2

4.

п.2. Поверхности вращения.
Поверхность вращения - это поверхность,
образованная вращением двумерной кривой
вокруг оси.
Если ось вращения совпадает с осью Oz, то
уравнение поверхности вращения выглядит
следующим образом:
F ( x y , z ) 0.
2
2

5.

Если ось вращения совпадает с осью Oy, то
уравнение поверхности вращения выглядит
следующим образом:
F ( x z , y ) 0.
2
2
Если ось вращения совпадает с осью Ox, то
уравнение поверхности вращения выглядит
следующим образом:
F ( y z , x ) 0.
2
2

6.

Пример.
z x y
2
2

7.

п.3. Поверхности второго порядка.
Эллипсоид
2
2
2
x y z
2 2 1
2
a b c

8.

Однополостный гиперболоид
2
2
2
x y z
2 2 1
2
a b c

9.

Двуполостный гиперболоид
2
2
2
x y z
2 2 1
2
a b c

10.

Эллиптический параболоид
2
2
x y
2z
p q

11.

Гиперболический параболоид
2
2
x y
2z
p q