Представление вещественных чисел в памяти компьютера

1. Представление вещественных чисел в памяти компьютера

2. Представление чисел в формате с плавающей запятой

Вещественными числами (в отличие от целых) в
компьютерной технике называются числа, имеющие
дробную часть (в математике они называются
действительными). Вещественные числа хранятся и
обрабатываются в компьютере в формате с
плавающей запятой.
Плавающая запятая или плавающая точка положение запятой в записи числа может изменяться.
Пример: 555,55 = 55555•10-2 = 0,55555•103
При написании вещественных чисел вместо запятой в
компьютере принято писать точку. Так, например,
число 5 — целое, а числа 5.1 и 5.0 — вещественные.

3.

Для удобства отображения чисел, принимающих
значения из достаточно широкого диапазона (то есть,
как очень маленьких, так и очень больших),
используется форма записи чисел с порядком
основания системы счисления.
Например, десятичное число 1.25 можно в этой
форме представить так:
1.25*100 = 0.125*101 = 0.0125*102 = ... ,
или так:
12.5*10–1 = 125.0*10–2 = 1250.0*10–3 = ... .

4.

Формат числа с плавающей запятой (с
плавающей точкой) базируется на
экспоненциальной форме записи
чисел, в которой может быть
представлено любое число А:
А = m • qn, где
m – мантисса числа,
q – основание системы счисления,
n – порядок числа.

5. Пример:

Число 15,324 можно записать как
0,15324*102 или 153,24*10-1.
В первом случае
мантисса: 0,15324, порядок: 2,
а во втором случае
мантисса: 153,24, порядок: -1.
Порядок указывает, на какое количество
позиций и в каком направлении должна
сместиться десятичная запятая в мантиссе.

6.

Метод представления вещественных чисел в памяти компьютера предполагает хранение
двух чисел: мантиссы и порядка. Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше
точность представления числа. Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон чисел,
представимых в ПК при заданном формате.
Правила кодирования мантиссы и порядка отличаются для различных типов ПК.
Рассмотрим для начала один из вариантов представления вещественных чисел.
Для размещения вещественного числа могут использоваться четыре байта (32 бита) короткий формат, 8 байтов - длинный формат, 16 байтов - формат повышенной точности. В любом
случае старший байт остается постоянным, а изменяется область, отведенная под мантиссу.
Старший байт включает в себя:
один бит (старший) - знак числа;
один бит - знак порядка;
шесть битов - порядок числа.
Знак числа или знак порядка: 0 –для положительных чисел, 1 – для отрицательных.
В таком представлении максимальный порядок числа равен 1111112 = 6310. Следовательно,
1063 - максимальное число, которое можно закодировать таким образом:
Третий байт
порядок
знак порядка
знак мантиссы
Второй байт
Первый байт
мантисса
Нулевой байт

7.

Чаще всего для хранения
вещественных чисел в памяти
компьютера используется 32разрядная или 64-разрядная
ячейка. В первом случае это будет
представлением с обычной
точностью, во втором - с удвоенной
точностью. В ячейке хранится два
числа в двоичной системе
счисления: мантисса и порядок.

8. Нормализованная форма числа

Чтобы привести к какому-то стандарту, в представлении чисел с
плавающей запятой условились представлять числа в
нормализованной форме.
Если “плавающая” точка расположена в мантиссе перед первой значащей
цифрой, то при фиксированном количестве разрядов, отведённых под
мантиссу, обеспечивается запись максимального количества значащих
цифр числа, то есть максимальная точность представления числа в
машине. Из этого следует:
Мантисса должна быть правильной дробью, первая цифра которой
отлична от нуля:
M из [0.1, 1).
0,1 | m | < 1
Такое, наиболее выгодное для компьютера, представление вещественных
чисел называется нормализованным.
Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с
основанием q, а само основание — в десятичной системе.

9. Пример

555,55 – естественная форма записи вещественного числа
0,55555•103 - нормализованная форма,
0,55555 -мантисса
0,55555 < 1
Это касается и отрицательных чисел, поэтому мантисса в
условии взята по модулю.
У мантиссы после запятой не может быть нуля!

10. Задание 1

Записать числа десятичной и двоичной системы
счисления в нормализованной форме:
Десятичная система
1. 753.15
2. -0.000034
Ответы:
0.75315*103
-0.34*10-4
Двоичная система
1. -101.01
2. -0.000011
Ответы:
-0.10101*211
-0.11*2-100
Для двоичных чисел порядок пишется в двоичной системе
счисления: 211 (11 это 3 в десятичной системе), 2-100 (100 – это 4 в
десятичной системе).

11. Задание 2

Записать следующие десятичные
числа в форме с плавающей
запятой и нормализованной
мантиссой:
а) 217, 934
б) 0,0075321
в) 10,0101
г) 200450

12. Решение:

а) 217, 93410 =0,217934 103 ,
где 0,217934 –нормализованная мантисса, порядок 3
б) 7532110 =0,75321 105,
где 0,75321 –нормализованная мантисса, порядок 5
в) 10,010110 = 0, 100101 102,
где 0, 100101 –нормализованная мантисса, порядок 2
г) 20045010 = 0,200450 106,
где 0,200450 –нормализованная мантисса, порядок 6

13. Задание 3

Запишите число 2001,2001 пятью различными
способами в форме с плавающей запятой (без
нормализованной мантиссы).
Решение:
2001,2001 = 20.012001*102
2001,2001 = 20012.001*10-1
2001,2001 = 2.0012001*103
2001,2001 = 2001200.1*10-3
2001,2001 = 200.12001*101

14. Домашнее задание

Прочитать до конца параграф 19
(Вещественные числа в компьютере).
Письменно выполнить задания со
следующего слайда:

15.

Задания:
1. Записать числа десятичной и двоичной системы счисления в
нормализованной форме:
Десятичная система
а). 387.65
б) -0.00621
Двоичная система
в). -1001.11
г). -0.00011
2. Записать следующие числа в форме с плавающей запятой и
нормализованной мантиссой:
а) 67, 96730
б) 7581
в) 110,011
г) 0,003508
3. Запишите число 20131,985 пятью различными способами в форме с
плавающей запятой (мантисса не нормализованная).