Теория вероятностей

1. Теория вероятностей

2.

3. Классическое определение вероятности

Р(А) – вероятность наступления события А равно
отношению числа исходов, благоприятствующих
наступлению события, к числу всех исходов
испытания.
число благоприятных исходов
Р (А) =
общее число исходов
Свойство вероятности:
1) Вероятность достоверного события равна 1 Р ( А) 1
2) Вероятность невозможного события равна 0 Р ( А) 0
3) Вероятность случайного события А удовлетворяет
двойному неравенству
0 Р( А) 1

4.

В ящике 4 красных и 6 синих шаров,
извлекают 1 шар,
какова вероятность события А
4
А- извлечение красного шара Р ( А) 0,4
10
А- извлечение зеленого шара Р ( А) 0
6
А- извлечение синего шара Р ( А) 0,6
10
А- извлечение шара Р ( А) 1

5.

Два события, которые в данных условиях могут
происходить одновременно, называют
совместными, а те, которые не могут
происходить одновременно, - несовместными.

6.

Несовместные события.
Определение. События называют
несовместными, если они не могут
происходить одновременно в одном
и том же испытании
Например,
выигрыш,
ничейный
исход и проигрыш одного игрока в
одной партии в шахматы – три
несовместных события.
17.12.2023

7. Теорема сложения вероятностей

Теорема. Вероятность суммы двух
несовместных событий A и B (появление
хотя бы одного события) равна сумме
вероятностей этих событий:
P (A+B)=P(A) +P(B).
Теорема обобщается на любое
число попарно несовместных
событий

8.

На экзамене по геометрии школьнику достаётся
одна задача из сборника. Вероятность того, что
эта задача по теме «Окружность», равна 0,45.
Вероятность того, что это окажется задача по
теме «Площадь», равна 0,25. В сборнике нет
задач, которые одновременно относятся к этим
двум темам. Найдите вероятность того, что на
экзамене школьнику достанется задача по
одной из этих двух тем.
Решение:
Суммарная вероятность несовместных
событий равна сумме вероятностей этих
событий: P=0,45+0,25=0,7
Ответ: 0,7

9.

На экзамене по геометрии школьнику достаётся
одна задача из сборника. Вероятность того, что
эта задача по теме «Параллелограмм», равна 0,2.
Вероятность того, что это окажется задача по
теме «Площадь», равна 0,1. В сборнике нет задач,
которые одновременно относятся к этим двум
темам. Найдите вероятность того, что на
экзамене школьнику достанется задача по одной
из этих двух тем
Решение:
Суммарная вероятность несовместных
событий равна сумме вероятностей этих
событий:
Ответ: 0,3

10. Следствие из теорема сложения вероятностей

Сумма вероятностей
противоположных событий равна 1
___
Р( А) Р( А ) 1

11.

Вероятность того, что новая шариковая
ручка пишет плохо (или не пишет), равна
0,07. Покупатель в магазине выбирает одну
шариковую ручку. Найдите вероятность
того, что эта ручка пишет хорошо.
Решение:
Сумма вероятностей
противоположных событий равна 1
Вероятность того, что ручка пишет
хорошо равна 1 − 0,07 = 0,93
Ответ: 0,93

12.

Независимые события.
Определение. Два случайных события называют
независимыми, если наступление одного из них не
изменяет вероятность наступления другого. В
противном случае события называют зависимыми.
Теорема. Вероятность произведения (совместного
появления)
двух
независимых
событий
равна
произведению вероятностей этих событий:
P(AB) = P(A) · P(B).
17.12.2023

13. Теорема умножения вероятностей.

Теорема.
Вероятность произведения
(совместного появления) двух
независимых событий равна
произведению вероятностей этих
событий:
Р( АВ) Р( А) Р( В)

14.

Фирма «Вспышка» изготавливает
фонарики. Вероятность того, что случайно
выбранный фонарик из партии
бракованный, равна 0,02. Какова
вероятность того, что два случайно
выбранных из одной партии фонарика
окажутся небракованными?
Решение:
1)Вероятность того, что один случайно
выбранный из партии фонарик небракованный,
составляет 1 − 0,02=0,98.
2)Вероятность того, что мы выберем
одновременно два небракованных фонарика
равна 0,98 · 0,98 = 0,9604.
Ответ: 0,9604

15.

Стрелок 4 раза стреляет по мишеням.
Вероятность попадания в мишень при
одном выстреле равна 0,8. Найдите
вероятность того, что стрелок первые 3
раза попал в мишени, а последний раз
промахнулся.
Решение:
1)Вероятность промаха равна 1 − 0,8 = 0,2
2)Вероятность того, что стрелок первые три раза
попал в мишени равна 0,8 ∙0,8∙0,8= 0,512
3)Вероятность события, при котором стрелок
сначала три раза попадает в мишени, а
четвёртый раз промахивается равна
0,512 · 0,2 = 0,1024
Ответ: 0,1024

16.

Стрелок три раза стреляет по мишеням.
Вероятность попадания в мишень при одном
выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того,
что стрелок первые два раза попал в мишени, а
последний раз промахнулся.
Решение:
1)Вероятность промаха равна 1 − 0,7 = 0,3
2)Вероятность того, что стрелок первые два раза
попал в мишени равна 0,7 ∙0,7= 0,49
3)Вероятность события, при котором стрелок
сначала два раза попадает в мишени, а третий
раз промахивается равна 0,49 · 0,3 = 0,147.
Ответ: 0,147

17.

Домашняя работа
1)Фирма «Вспышка» изготавливает фонарики. Вероятность того, что
случайно выбранный фонарик из партии бракованный, равна 0,07. Какова
вероятность того, что два случайно выбранных из одной партии фонарика
окажутся небракованными?
2)Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет),
равна 0,21. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку. Найдите
вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
3)Стрелок 4 раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень
при одном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что стрелок
первые 2 раза попал в мишени, а последние 2 раза промахнулся.
4)Стрелок 5 раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень
при одном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок
первые 3 раза попал в мишени, а последние 2 раза промахнулся.
5)На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника.
Вероятность того, что эта задача по теме «Трапеция», равна 0,3. Вероятность
того, что это окажется задача по теме «Углы», равна 0,6. В сборнике нет
задач, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите
вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача по одной из
этих двух тем.
6)Петя выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно
делится на 51.