Теоремы сложения и умножения вероятностей

1. Теоремы сложения и умножения вероятностей

2. 1. Сложение и умножение вероятностей

Событие называют противоположным событию А, если оно происходит только тогда,
когда не происходит событие А. Обозначается
А
Сумма вероятностей противоположных событий равна 1
Р ( А) Р ( А) 1
Два события называются несовместными, если в одном и том же испытании
Они не могут произойти одновременно, т.е. наступление одного из них
исключает наступление другого.
Теорема о сумме вероятностей
Если событие С означает, что наступает одно из двух
несовместных событий А или В, то вероятность события С
равна сумме вероятностей событий А и В.
Р(C ) Р( А) Р( В)

3.

Два события называются независимыми, если наступление одного
из них не влияет на вероятность наступления другого события.
Теорема о произведении вероятностей
Если событие С означает совместное наступление двух
независимых событий А и В, то вероятность события С
равна произведению вероятностей событий А и В.
Р(C ) Р( А) Р( В)

4.

Пример 1. В коробке находятся 19 шаров:10 белых, 4 красных и 5 зелёных.
Из коробки наугад вынимают шар. Какова вероятность, что он окажется не белым?
Решение: Пусть событие А – шар оказался красным;
событие В – шар оказался зелёным.
Тогда событие С – вынутый шар не белый (красный или зелёный).
Р(C ) Р( А) Р( В)
Значит
Р( А)
.
4
5
9
; Р( В) Р(С ) .
19
19
19
Ответ:
Р (С )
9
.
19
Пример 2: В одном ящике 15 деталей, из которых 2 детали – нестандартные,
а в другом ящике – 20 деталей, из которых 3 нестандартные. Из каждого ящика
вынимают наугад по одной детали. Какова вероятность, что обе детали
окажутся нестандартными?
Решение: Пусть событие А – из первого ящика вынули нестандартную деталь;
событие В- из второго ящика вынули нестандартную деталь.
Для события А - 15 исходов, 2 из которых благоприятные, а для события В – 20
исходов, 3 из которых благоприятные, значит
Р ( А)
2
3
, Р( В) ;
15
20
Р(C ) Р( А) Р( В)
Р(С)=0,02
Ответ: 0,02

5.

Классическое определение
вероятности
Теоремы сложения и умножения
вероятностей
Р(C ) Р( А) Р( В)
m
Р ( А)
n
Р(C ) Р( А) Р( В)
Пр. событие А – шар красный;
событие В – шар зелёный.
Тогда событие С – шар не белый
Пример:
Какова вероятность, что вы получите
подарок, если пойдете один?
Р(А)=1:5=0,2
Ответ: 0,2
Р ( А)
4
5
9
; Р( В)
Р (С )
.
19
19
19
Ответ: 9/19
Пример:
Р ( А)
2
3
, Р( В)
;
15
20
Р (C ) Р ( А) Р ( В )
Р(С)=0,02
Ответ: 0,02

6.

Решение задач:
1Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет
плохо (или не пишет), равна 0,21. Покупатель в магазине
выбирает одну такую ручку. Найдите вероятность того,
что эта ручка пишет хорошо.
2. Задание 19 № 316380. Фирма «Вспышка» изготавливает фонарики. Вероятность того, что случайно выбранный
фонарик из партии бракованный, равна 0,03. Какова вероятность того, что два случайно выбранных из одной партии фонарика окажутся небракованными?

7.

Решение:
1. Вероятность того, что ручка пишет хорошо равна
1- 0,21=0,79. Ответ: 0,79
2. Решение. Вероятность того, что один случайно выбранный из партии фонарик — небракованный, составляет 1 − 0,03=0,97. Вероятность того, что мы выберем одновременно
два
небракованных
фонарика
равна
0,97 · 0,97 = 0,9409.
Ответ: 0,9409

8.

Решение задач:
1. На экзамене по биологии школьнику достаётся один
случайно выбранный вопрос из списка. Вероятность того,
что этот вопрос на тему «Членистоногие», равна 0,15. Вероятность того, что это окажется вопрос на тему «Ботаника», равна 0,45. В списке нет вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам. Найдите вероятность
того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по
одной из этих двух тем.
2. Записан рост (в сантиметрах) пяти учащихся: 158, 166,
134, 130, 132. На сколько отличается среднее арифметическое этого набора чисел от его медианы?

9.

1. Решение: Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
0,15 + 0,45 = 0,6.
Ответ: 0,6.
2. Решение. Медианой ряда, состоящего из нечетного
количества чисел, называется число данного ряда, которое окажется посередине, если этот ряд упорядочить.
Медианой ряда, состоящего из четного количества чисел,
называется среднее арифметическое двух стоящих посередине чисел этого ряда.
Упорядочим данный ряд: 130, 132, 134, 158, 166, следовательно, медиана равна 134. Среднее арифметическое же
будет равно(130+132+134+158+166):5=144.
Разница между медианой и средним арифметическим составляет 144 − 134 = 10.
Ответ: 10.

10. Рефлексия:

Основные понятия
Событие:
Появление исхода, обладающего заранее указанным свойством
– случайное
Событие, которое может произойти или не произойти при
проведении опыта
– достоверное
Событие, которое происходит при проведении опыта всегда
– невозможное
Событие, которое не может произойти ни при каком исходе
опыта
–
равновозможные
События, которые имеют равные возможности произойти