Иррациональные неравенства:
п.1. Неравенства вида
п.2. Неравенства вида
п 3. Неравенства вида
п.4. Неравенства вида
5. Неравенства вида
6. Неравенства вида
7. Неравенство вида
8. Неравенства вида
9. Неравенства вида
10. Введение новой неизвестной
П.11. Обобщенный метод интервалов при решении неравенства
П.12. Неравенства вида
538.50K
Category: mathematicsmathematics

Иррациональные неравенства: виды и способы решения

1. Иррациональные неравенства:

виды и способы решения

2. п.1. Неравенства вида

2n
f ( x) c и
2n
f ( x) c

3. п.2. Неравенства вида

2 n 1
f ( x) c
2 n 1
f ( x) c 2 n 1
f ( x) c и
2 n 1
2 n 1
f ( x) c
f ( x) c
f ( x) c 2 n 1
Пример 7. Решить неравенство 3 3 2 x 5
Решение
3
3 2 x 5 3 2 x 53
ответ : ; 61
2 x 122
x 61.

4. п 3. Неравенства вида

2 n f ( x) c
и
2n
f ( x) c

5. п.4. Неравенства вида

2 n 1
п.4. Неравенства вида
2 n 1
f ( x) c
f ( x) c 2 n 1
f ( x) c и
2 n 1
2 n 1
f ( x) c
f ( x) c
f ( x) c 2 n 1
Пример Решить неравенство 5 x 3 2
Решение
5
x 3 2
x 3 2
Ответ : ; 35 .
5
x 3 32
x 35.

6. 5. Неравенства вида

2n
f ( x) g ( x) и
2n
f ( x) g ( x)

7.

Решить неравенство
Решение
2 x 2 6 x 4 3x 2
2
x
,
3x 2 0,
3
2
2
2
2 x 6 x 4 3 x 2 2 x 6 x 4 0,
2 x 6 x 4 0,
2
7 x 2 18 x 0
2
2 x 6 x 4 3 x 2
Ответ : 0;1 2; .

8. 6. Неравенства вида

2 n 1
f ( x) g ( x)
2 n 1
f ( x) g ( x)
f x g 2 n 1 ( x)
2 n 1
f ( x) g ( x)
f x g 2 n 1 ( x )
Решить неравенство 3 x3 3 x 3 2 x 1
Решение
3
x3 3 x 3 2 x 1 x 3 3 x 3 2 x 1 x 3 3 x 3 8 x 3 12 x 2 6 x 1
3
7 x3 12 x 2 9 x 4 0 x 1 7 x 2 5 x 4 0 x 1 0 x 1
Ответ : 1 ;

9. 7. Неравенство вида

2n
f ( x) g ( x) и
2n
f ( x) g ( x)
g ( x) 0,
2n
f
(
x
)
g
( x),
2 n f ( x) g ( x)
g ( x) 0,
f ( x) 0
g ( x) 0,
2n
f
(
x
)
g
(
x
),
2 n f ( x) g ( x)
g ( x) 0,
f ( x) 0

10.

Решить неравенство
Решение
x2 5x 4 2 x
2 x 0,
2
2
x 5 x 4 2 x ,
2
x 5x 4 2 x
2 x 0,
x2 5x 4 0
Ответ : ;0 4; .
x 2,
x 0,
x 2, x 0,
x 4
x 1,
x 4

11. 8. Неравенства вида

2 n 1
f ( x) g ( x) и
2 n 1
f ( x) g ( x)
Решить неравенство 5 x5 10 x 4 40 x3 15 x 2 17 x 34 x 2
Решение
5
x5 10 x 4 40 x3 15 x 2 17 x 34 x 2
x 10 x 40 x 15 x 17 x 34 x 2
5
4
3
2
Ответ : ; 0 4; .
5

12. 9. Неравенства вида

2n
f ( x)
2n
2n
f ( x) 2n g ( x) и
f x 0,
g ( x)
и
f x g x
Решить неравенство
Решение
2n
f ( x)
2n
2n
f ( x) 2n g ( x)
f x 0,
g ( x)
f x g x
3x 2 x 5 2 x 2 5 x 2
3x 2 x 5 2 x 2 5 x 2,
x 2 6 x 7 0,
3x x 5 2 x 5 x 2 2
2
2 x 5 x 2 0
2 x 5 x 2 0
2
2
Ответ : ; 7 2; .

13.

Решить неравенство 3 7 x 2 2
Решение
10
7 x 2 2 7 x 2 2 7 x 2 8 7 x 10 x
7
10
Ответ : ; .
7
3
3
Решить неравенство
Решение
7 x 12 2
7 x 12 2 7 x 12 22 7 x 12 4 7 x 8 x
8
Ответ : ; .
7
c 0,
2n
f ( x) c f x c 2 n
8
7

14.

Решить неравенство 3 x 2 5
Решение
3
x 2 5 x 2 5 x 2 125 x 127
3
Ответ : 127; .
Решить неравенство
Решение
x 5 4
x 5 0,
x 5,
x 5 4
5 x 21
2
x 21
x 5 4
Ответ : 5; 21 .
c 0,
2n
f x 0,
f ( x) c
2n
f
x
c

15. 10. Введение новой неизвестной

Решить неравенство
3 x
1
15 x
Решение
Пусть t 15 x , t 0, тогда x 15 t 2 и получим систему
t 0,
t 0,
t 0,
t 0,
2
2
2
t 12
t t 12
2
0 t 4
3 15 t
1
0
1
t t 12 0
t
t
t
Вернемся к переобозначению
0 15 x 4 0 15 x 16 15 x 1 1 x 15
Ответ : 1;15 .

16.

Решить неравенство
1
2
x 2 4 x
Решение
Пусть t x , t 0, тогда получим систему
t 0,
t 0,
t 0,
t 0,
3t
2
1
0
t
t 2 4 t
t 2 4 t
0
t 2 4 t
t 0,
t 0,
t 0,
t 0,
t 0,
t 4
1
t 4
0
4 t
x 0,
x 0,
Вернемся к переобозначению :
x 16
x 4
Ответ : 0 16 ; .

17.

Решить неравенство
x x 2
0
x x 2
Решение
Пусть t x , t 0, тогда x t 2 получим систему
t 0,
2
t t 2
0
2
t t 2
Вернемся к переобозначению :1 x 2 1 x 4.
Ответ : 1; 4 .

18.

Решить неравенство x 7 3 x 4
Решение
Пусть t x 4, t 0, тогда x t 2 4 получим систему
t 0,
t 0,
t 0,
t 0,
1 t 2,
2
t
t
6
0,
2
2
t 0
2
t
3
3
t
t
3
3
t
t
3
t
3
3
t
t 2 t 0
1 x 4 2,
1 x 4 4,
5 x 8,
Вернемся к переобозначению :
x 4 0
x 4
x 4 0
Ответ : 4 5;8 .

19.

Пример. Решить неравенства 3 2 x x 1 1
Решение
Пусть t x 1 0 x t 2 1, тогда неравенство примет вид
t 0,
t 0,
t 0,
t 0,
3
3
3 3
2
2
2
2
1 t t 1
1 t 1 t
t 4t 3t 0
1 t 1 t
t 0,
t | 0,
0 t 1,
2
t 1,
t 3
t 4t 3 0
t 3
Вернемся к переобозначению
0 x 1 1,
0 x 1 1,
1 x 2,
x 1 3
x 10
x
1
3
Ответ : 1; 2 10 ; .

20.

21. П.11. Обобщенный метод интервалов при решении неравенства

22.

23.

24. П.12. Неравенства вида

g ( x) 2n f ( x) 0 и g ( x) 2n f ( x) 0
g ( x ) 2 n f ( x) 0
f x 0,
x D g
g ( x) 2 n f ( x) 0
f x 0,
g x 0

25.

g ( x)
2n
f ( x) 0
f x 0,
g ( x) 2 n f ( x) 0
g x 0

26.

Решение
x 1,
x 2 x 3 0,
x 3,
x 1,
x 6 0
x 6
2x 1
x 2 2 x 3 0 x 2 2 x 3 0,
x 3,
x 6
x 1 x 3 0,
6 x 1
2 x 1
0
2x 1
0
x 6
x 6
2
Ответ : 6; 1 3 .

27.

g ( x)
2n
f ( x) 0
f x 0,
x D g
g ( x) 2 n f ( x) 0
f x 0,
g x 0

28.

3 x
x 4 0,
x 3,
x
3 x
3 x
2
0,
x 3x 2 x 4 0 3 x
x 4
0,
x 2 3x 2 0
x 4
x 2 3x 2 0
Ответ : 4;1 2;3 .
English     Русский Rules