Решение систем линейных уравнений

1. Решение систем линейных уравнений

2. Графический способ решения систем линейных уравнений

3. Дана система линейных уравнений

x y 1,
2 x y 4.
Рассмотрим каждое
уравнение в
отдельности.
Геометрической
иллюстрацией уравнения с
двумя неизвестными служит
его график на координатной
плоскости.

4. Дана система линейных уравнений

первое
x y 1, Рассмотрим
уравнение
2 x y 4. x y 1
Выразим из этого
уравнения y через x .
y x 1

5.

Данное уравнение можно рассматривать
как формулу, задающую линейную
функцию.
y x 1
Поэтому графиком данного уравнения
является прямая.
Для построения графика найдем две точки.
1)
x 0, y 1;
2)
x 2, y 3.

6. Построим график

y x 1

7. Вернемся к системе линейных уравнений

второе
x y 1, Рассмотрим
уравнение
2 x y 4. 2 x y 4
Выразим из этого
уравнения y через x .
y 2 x 4

8.

Данное уравнение также как и первое
можно рассматривать как формулу,
задающую линейную функцию.
y 2 x 4
Поэтому графиком данного уравнения
является прямая.
Для построения графика найдем две точки.
1)
x 0, y 4;
2)
x 2, y 0.

9. Построим график второй функции

y x 1
y 2 x 4

10. Найдем координаты точки пересечения прямых

y x 1
y x 1
A(1; 2)
y 2 x 4
Ответ:
(1; 2)

11. Для графического решения системы нужно:

1. Построить графики каждого из
уравнений системы.
2. Найти координаты точки пересечения
построенных прямых (если они
пересекаются)
На плоскости возможны три случая
взаимного расположения двух прямых
― графиков уравнений системы

12. Три случая взаимного расположения двух прямых

1. Прямые пересекаются.
То есть имеют одну общую точку.
Тогда система
уравнений имеет
единственное
решение.
Например, как в
рассмотренной системе
y x 1
y 2 x 4

13. Три случая взаимного расположения двух прямых

2. Прямые параллельны.
То есть не имеют общих точек.
Тогда система
уравнений
решений не имеет.
Например:
y x 1
y x 2

14. Три случая взаимного расположения двух прямых

3. Прямые совпадают.
Тогда система
уравнений имеет
бесконечно много
решений.
Например:
y x 2
2 y 4 2x

15.

Материал для
повторения :
Красный учебник;
стр. 74 – 79, § 13
15

16. Способ подстановки при решении систем линейных уравнений

17. Способ подстановки

Этот способ удобен тогда, когда хотя бы один
из коэффициентов при x или y равен 1 или -1.
Дана система уравнений Рассмотрим каждое
2 x y 4,
3x 4 y 27.
(1)
(2)
1) Выразим одно из
неизвестных через другое
неизвестное из любого
уравнения.
уравнение в
отдельности.
2 x y 4,
y 4 2 x
y 4 2x
(1)

18.

Способ подстановки
Вернемся в систему:
2) Полученное для
y выражение
подставим вместо
данной
неизвестной во
второе уравнение.
y 2 x 4,
3x 4 y 27.
y 2 x 4,
3x 4(2 x 4) 27.
(1)
(2)
(1)
(2)
Получилось уравнение с одной
неизвестной

19.

Способ подстановки
3) Выходим из системы
и решаем уравнение с
одной неизвестной:
3 x 4(2 x 4) 27,
3 x 8 x 16 27,
11x 16 27,
11x 27 16,
11x 11,
x 1.
Возвращаемся в
систему:.
y 2 x 4, (1)
x 1. ( 2)

20.

Способ подстановки
Возвращаемся в
систему:
y 2 x 4, (1)
x 1. ( 2)
4) Подставим найденное значение x в первое
уравнение и найдем вторую неизвестную
y 2 1 4, (1)
x 1. (2)
Запишем ответ.
y 6, (1)
x 1 . ( 2)
Ответ:
(1; 6)

21.

Материал для
повторения :
Красный учебник;
стр. 80 – 83, § 14
21

22. Способ сложения при решении систем линейных уравнений

Этот способ используют
тогда, когда нет
коэффициентов при x или y
равных 1 или -1.

23. Способ сложения

Задача 1. Решить систему уравнений
7 x 2 y 27, (1)
5 x 2 y 33. (2)
В тех случаях, когда в обоих линейных
уравнениях системы при каком-либо из
неизвестных коэффициентами являются
противоположные или одинаковые числа,
удобно применять способ алгебраического
сложения уравнений.

24. Способ сложения

Задача 1. Решить систему уравнений
7 x 2 y 27, (1)
5 x 2 y 33. (2)
Предположим, что числа x
и y ─ решения системы,
при которых оба равенства
системы равны.
7 x 2 y 27,
+
5 x 2 y 33.
Сложим эти равенства.
В результате получим
тоже верное равенство,
(7х – 2у) + (5х + 2у) = 27 + 33
так как к равному
12 x 60
прибавляли равное.
x 5

25. Способ сложения

Задача 1. Решить систему уравнений
Вернемся в систему, записав
одно из исходных уравнений и
полученное значение x.
7 x 2 y 27, (1)
5 x 2 y 33. (2)
x 5, (1)
5 x 2 y 33. (2)
5 5 2 y 33,
2 y 33 25,
2 y 8; y 4.
Подставим найденное значение
x во второе уравнение, найдем
вторую неизвестную.
Тогда пара чисел (5; 4) и будет
решением системы.
Ответ: (5; 4)

26. Способ сложения

Задача 2. Решить систему уравнений
1) Выберем неизвестную
(1) (например x),
2 x 5 y 1,
3 x 4 y 5. ( 2)
уравняем коэффициенты
при х умножением на
соответствующие числа.
2 x 5 y 1, 3
2
3
x
4
y
5
6 x 15 y 3,
6 x 8 y 10.

27. Способ сложения

Задача 2. Решить систему уравнений
(1)
2 x 5 y 1,
3 x 4 y 5. ( 2)
2) Вычтем одно
уравнение из другого.
6 x 15 y 3,
─
6 x 8 y 10.
(6х + 15у) – (6х + 8у) = - 3 – (- 10)
6х + 15у – 6х – 8у = - 3 +10
7 y 7, y 1
3) Решим полученное
уравнение с одним
неизвестным
4) Вернемся в систему,
записав одно из исходных
уравнений и полученное
значение y
2 x 5 y 1, (1)
y 1. ( 2)

28. Способ сложения

4) Вернемся в систему,
записав одно из исходных
уравнений и полученное
значение y
2 x 5 y 1, (1)
y 1. ( 2)
5) Подставим найденное
2 x 5 1 1,
значение y в первое
2 x 6,
x 3.
уравнение, найдем
вторую неизвестную.
Тогда пара чисел (-3; 1) и будет решением системы.
Ответ: ( - 3; 1)

29.

Материал для
повторения :
Красный учебник;
стр. 83 – 86, § 15
29