Геометрические задачи. Углы

1. Геометрические задачи

Я слышу, и я забываю,
Я вижу, и я помню
Я делаю, и я понимаю.
Конфуций

2. Углы

1. Один острый угол прямоугольного треугольника равен
29о. Найдите другой острый угол.
Ответ. 61о .

3.

2. В треугольнике ABC угол A равен 40o. Внешний угол
при вершине B равен 68o. Найдите угол C.
Ответ. 28о .

4.

3. В треугольнике ABC
Найдите угол C.
Ответ. 104о .
угол A равен 38o, AС = BC.

5.

4. В треугольнике ABC AС = BC, угол C равен 50o. Найдите
внешний угол CBD.
Решение. Так как углы при основании равнобедренного
треугольника равны и сумма углов треугольника равна 180о, то
углы A и B треугольника ABC равны 65о. Следовательно, угол
CBD равен 115о.
Ответ. 115о.

6.

5. В треугольнике ABC AB = BC. Внешний угол при вершине B
равен 138o. Найдите угол С.
Решение. Так как углы при основании равнобедренного
треугольника равны и сумма углов треугольника равна 138о, то
угол C треугольника ABC равен 69о.
Ответ. 69о.

7.

6. В треугольнике АВС AD – биссектриса, угол C равен 50o,
угол CAD равен 30o. Найдите угол B.
Ответ. 70о.

8.

7. В треугольнике АВС CD – медиана, угол C равен 90o, угол B
равен 60o. Найдите угол ACD.
Ответ. 30о.

9.

8. В треугольнике АВС угол А равен 48o, угол C равен 56o. На
продолжении стороны АB отложен отрезок BD = ВС. Найдите
угол D треугольника BCD.
Ответ. 38о.

10.

9. Сумма двух углов параллелограмма равна 100о.
Найдите один из оставшихся углов.
Ответ. 130о .

11.

10. Один угол параллелограмма больше другого на 70о.
Найдите больший угол.
Ответ. 125о .

12.

11. Диагональ параллелограмма образует с двумя его
сторонами углы 26о и 34о. Найдите больший угол
параллелограмма.
Ответ. 120о .

13. Длины

1. Мальчик прошел от дома по направлению на восток 800
м. Затем повернул на север и прошел 600 м. На каком расстоянии
от дома оказался мальчик?
Ответ. 1000.

14.

2. Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке, пошли
по взаимно перпендикулярным дорогам, мальчик со скоростью 4
км/ч, девочка 3 км/ч. Какое расстояние (в км) будет между ними
через 30 мин?
Ответ. 2,5.

15.

3. Два парохода вышли из порта, следуя один на север,
другой на запад. Скорости их равны 15 км/ч и 20 км/ч. Какое
расстояние будет между ними через 2 ч?
Ответ. 50.

16.

4. Используя данные, приведенные на рисунке, найдите
расстояние в метрах между пунктами A и B, расположенными на
разных берегах озера.
Ответ. 500.

17.

5. Какой длины должна быть лестница, чтобы она достала
до окна дома на высоте 8 метров, если ее нижний конец отстоит
от дома на 6 м?
Ответ. 10.

18.

6. В 12 м одна от другой растут две сосны. Высота одной
11 м, а другой 6 м. Найдите расстояние между их верхушками.
Ответ. 13.

19.

7. Используя данные, приведенные на рисунке, найдите
расстояние AB от лодки A до берега b.
Ответ. 100.

20.

8. Используя данные, приведенные на рисунке, найдите
высоту мачты AB.
Ответ. 5.

21.

9. Используя данные, приведенные на рисунке, найдите
ширину AB реки.
Ответ. 10.

22.

10. Используя данные, приведенные на рисунке, найдите
ширину AB озера.
Ответ. 30.

23.

11. Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 8 шагов от
столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна двум
шагам. На какой высоте расположен фонарь?
Ответ. 17.

24.

12. Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 12 м от
столба, на котором висит фонарь на высоте 8,5 м. Найдите
длину тени человека в метрах.
Ответ. 3.

25.

13. Короткое плечо шлагбаума имеет длину 1 м, а длинное
плечо – 4 м. На какую высоту поднимается конец длинного плеча,
когда конец короткого плеча опускается на 0,5 м.
Ответ. 2.

26.

14. Короткое плечо шлагбаума имеет длину 1 м, а
длинное плечо – 3 м. На какую высоту опускается конец
короткого плеча, когда конец длинного плеча поднимается на 1,5
м. Ответ дайте в метрах.
Ответ. 0,5.

27. Площади

1. На координатной плоскости нарисуйте треугольник,
вершины которого имеют координаты (-1, 0), (3, 0), (3, 3).
Найдите его площадь.
Ответ. 6.

28.

2. На координатной плоскости нарисуйте треугольник,
вершины которого имеют координаты (0, -2), (3, 3), (0, 3).
Найдите его площадь.
Ответ. 7,5.

29.

3. На координатной плоскости нарисуйте треугольник,
вершины которого имеют координаты (-1, 0), (3, 0), (1, 4).
Найдите его площадь.
Ответ. 8.

30.

4. На координатной плоскости нарисуйте треугольник,
вершины которого имеют координаты (0, -2), (4, 0), (0, 3).
Найдите его площадь.
Ответ. 10.

31.

5. На координатной плоскости нарисуйте треугольник,
вершины которого имеют координаты (2, -2), (2, 2), (-2, 2).
Найдите его площадь.
Ответ. 8.

32.

6. На координатной плоскости нарисуйте треугольник,
вершины которого имеют координаты (3, 0), (0, 2), (-3, -1).
Найдите его площадь.
Ответ. 7,5.

33.

7.
На
координатной
плоскости
нарисуйте
четырехугольник, вершины которого имеют координаты (0, 0),
(3, 0), (3, 3), (0, 3). Найдите его площадь.
Ответ. 9.

34.

8.
На
координатной
плоскости
нарисуйте
четырехугольник, вершины которого имеют координаты (4, 1),
(4, 3), (1, 3), (1, 1). Найдите его площадь.
Ответ. 6.

35.

9.
На
координатной
плоскости
нарисуйте
четырехугольник, вершины которого имеют координаты (3, 0),
(0, 2), (-3, 0), (0, -2). Найдите его площадь.
Ответ. 12.

36.

10.
На
координатной
плоскости
нарисуйте
четырехугольник, вершины которого имеют координаты (0, 0),
(2, 0), (3, 3), (1, 3). Найдите его площадь.
Ответ. 6.

37.

11.
На
координатной
плоскости
нарисуйте
четырехугольник, вершины которого имеют координаты (3, -1), (3,
2), (-1, 4), (-1, 1). Найдите его площадь.
Ответ. 16.

38.

12.
На
координатной
плоскости
нарисуйте
четырехугольник, вершины которого имеют координаты (0, 0), (3,
1), (4, 4), (1, 3). Найдите его площадь.
Ответ. 8.

39.

13.
На
координатной
плоскости
нарисуйте
четырехугольник, вершины которого имеют координаты (4, 1), (2,
3), (-1, 1), (1, -1). Найдите его площадь.
Ответ. 10.

40.

14.
На
координатной
плоскости
нарисуйте
четырехугольник, вершины которого имеют координаты (0, 0), (4,
0), (3, 2), (1, 3). Найдите его площадь.
Ответ. 7,5.

41. Утверждения

1. Укажите номера верных утверждений
1. Через любые две точки проходит не более одной прямой.
2.
Если при пересечении двух прямых третьей прямой
внутренние односторонние углы равны, то эти две прямые
параллельны.
3. Если две параллельные прямые пересечены третьей
прямой, то внутренние накрест лежащие углы составляют в
сумме 180.
4. Если угол равен 30о, то смежный с ним угол равен 150о.
Ответ. 1, 4.

42.

2. Укажите номера верных утверждений
1. Если две стороны одного треугольника соответственно равны
двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники
равны.
2. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к
основанию, является одновременно биссектрисой и высотой.
3. Каждая сторона треугольника больше суммы двух других
сторон.
4. В треугольнике против большего угла лежит меньшая сторона.
Ответ. 2.

43.

3. Укажите номера верных утверждений
1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника меньше
180о.
2. Если один из углов равнобедренного треугольника равен 100о,
то один из оставшихся углов равен 40о.
3. Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего
угла, не смежного с ним.
4. В треугольнике ABC, для которого A = 40o, B = 50o, C = 90o,
сторона AC – наименьшая.
Ответ. 1, 2, 3.

44.

4. Укажите номера верных утверждений
1. Если расстояние от центра окружности до прямой больше
радиуса окружности, то эти прямая и окружность
пересекаются.
2.
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу этой
окружности.
3.
Через любые три точки, не принадлежащие одной прямой,
проходит не менее одной окружности.
4.
Если радиусы двух окружностей равны 3 и 5, а расстояние
между их центрами равно 1, то эти окружности
пересекаются.
Ответ. 3.

45.

5. Укажите номера верных утверждений
1. Вписанный угол измеряется величиной дуги окружности, на
которую он опирается.
2. Центральный угол измеряется половиной дуги окружности, на
которую он опирается.
3. Если вписанный угол равен 30о, то центральный угол,
опирающийся на ту же дугу, равен 60о.
4. Если дуга окружности составляет 80о, то центральный угол,
опирающийся на эту дугу, равен 80о.
Ответ. 3, 4.

46.

6. Укажите номера верных утверждений
1. Сумма углов выпуклого четырехугольника не превосходит
360о.
2. Сумма двух противоположных углов параллелограмма равна
180.
3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и меньше их
суммы.
4. Если одна диагональ параллелограмма равна 5, то другая его
диагональ равна 5.
Ответ. 1, 3.

47.

7. Укажите номера верных утверждений
1. Если все стороны четырехугольника равны и один из его углов
равен 90о, то этот четырехугольник – квадрат.
2. Если в четырехугольнике диагонали перпендикулярны, то этот
четырехугольник является ромбом.
3. Если сумма двух углов выпуклого четырехугольника равна
100о, то сумма двух оставшихся углов равна 80о.
4. Если основания трапеции равны 6 и 8, то средняя линия этой
трапеции равна 14.
Ответ. 1.

48.

8. Укажите номера верных утверждений
1. Около всякого треугольника можно описать не менее одной
окружности.
2. Если стороны треугольника равны 3, 4, 5, то радиус описанной
около него окружности, равен 2,5.
3. В любой параллелограмм можно вписать окружность.
4. В любой правильный многоугольник можно вписать не более
одной окружности.
Ответ. 1, 2, 4.

49.

9. Укажите номера верных утверждений
1. Прямая не имеет центра симметрии.
2. Правильный треугольник имеет центр симметрии.
3. Круг имеет центр симметрии.
4. Квадрат имеет четыре оси симметрии.
Ответ. 3, 4.

50.

10. Укажите номера верных утверждений
1. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум
сторонам другого треугольника, то такие треугольники
подобны.
2. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в
60о, равен половине гипотенузы.
3. Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны
соответственно 5 и 13, то второй катет этого треугольника
равен 12.
4. Квадрат любой стороны треугольника не превосходит суммы
квадратов двух других сторон без удвоенного произведения
этих сторон на косинус угла между ними.
Ответ. 3, 4.

51.

12. Укажите номера верных утверждений
1. Площадь параллелограмма равна произведению его стороны
на высоту.
2. Площадь треугольника равна произведению двух его сторон на
синус угла между ними.
3. Площадь трапеции равна произведению ее основания на
высоту.
4. Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.
Ответ. 4.