Модели проницаемости систем из нанопластин

1.

Модели проницаемости
систем из нанопластин
Решение многомерных задач математической физики
Лекция 1

2.

1

3.

Полуэмпирические потенциалы
межмолекулярных взаимодействий
При решении задач молекулярной динамки широко используются
простые модельные потенциалы.
Потенциал Леннарда-Джонса.
σ 12 σ 6
V r 4ε
r r
V
rm
σ
ε
Рисунок 2 – LJ-потенциал
r
(1)
Здесь ε ‒ характерная энергия парного
взаимодействия – глубина
потенциальной ямы, σ ‒ нулевая точка
потенциала.

4.

Спектральные потенциалы
Потенциал Морзе. В этом потенциале отсутствуют степенные
зависимости, поскольку они не обеспечивают экспериментально
наблюдаемые уровни энергии взаимодействия атомов. Свой потенциал
Морзе записал в виде двух экспонент:
V r D exp 2α r rm 2exp α r rm
(2)
V
V0
rm
D
r
Рисунок 3 – Распределение
потенциала Морзе
Главной отличительной особенностью этого
потенциала от рассмотренных ранее
является то, что он конечен при r = 0.
Обозначим это значение через V0. Как и в
потенциалах степенной зависимости, здесь
D – глубина потенциальной ямы, rm –
положение минимума энергии.

5.

Спектральные потенциалы
Потенциал
Пешля–Теллера.
гиперболическими функциями:
ПТ-потенциал
потенциал
составлен
4 αrm
4 αrm
sh 2 ch 2
V r D
(3)
2 αr
2 αr
ch
sh
2
2
В него входят параметры D, α, rm.
ПТ-потенциал существенно лучше в сравнении с потенциалом Морзе
описывает
дальние
взаимодействия.
Принято
считать,
что
дальнодействующая экспоненциальная часть потенциала Морзе хуже
согласуется с экспериментальными данными в сравнении с обратной
степенной зависимостью других потенциалов. В то же время он вполне
удовлетворительно описывает колебательные уровни молекул.

6.

Проникновение молекул газовых компонент через
дефект в графеновой структуре – дискретная модель
Рисунок 4 – Графеновая пластинка, содержащая в центральной части кристаллической решетки
дефект в виде удаленных 12 узлов.

7.

Дискретная модель
В нашей теории взаимодействие между отдельными молекулами
определяется классическим LJ-потенциалом.
Суммарный потенциал взаимодействия молекул структуры с пробной
молекулой можно записать как сумму отдельных потенциалов
(5)
Тогда векторное уравнение движения перемещающейся молекулы
можно записать следующим образом:
(6)
Здесь m – масса летящей молекулы, a – вектор ее ускорения,
– оператор градиента.

8.

Дискретная модель
Градиент от скалярной функции U(ρ1, …, ρNp), имеющей Np скалярных
аргументов представляется следующим образом:
(7)
Далее, принимая во внимание, что
,
вместо векторного уравнения (6) запишем три скалярных уравнения:
(8)

9.

Дискретная модель
Если дополнить уравнения (8) кинематическими соотношениями,
определяющими скорость точки:
(9)
то получим систему шести обыкновенных дифференциальных
уравнений (ОДУ) первого порядка относительно шести неизвестных: x,
y, z, u, v, w.
Таким образом, используя предложенную здесь простейшую
математическую технологию, можно решать задачи о
проникновении тех или иных газовых компонент через поры в
кристаллической структуре графена.

10.

Дискретная модель
Рисунок 5 – Пространственная траектория молекулы, проходящей через дефект в графеновой
пластинке на расстоянии 0,14 нм от геометрического центра дефекта.

11.

Дискретная модель
Рисунок 6 – Величина скоростей молекул, проходящих через углеродную пластинку

12.

Модель эквивалентного однородного слоя –
континуальная модель
Нужно помнить, что задача о движении отдельной молекулы через
структуру является шестипараметрической (три параметра положения и
три компонента скорости) и требуется слишком большое количество
пусков молекул для определения коэффициента проницаемости
нанопористой структуры.
Однако если LJ-потенциал модифицировать определенным образом, то
интегрированием по поверхности 2D-материала, коим является
графеновая пластина, можно найти энергию взаимодействия
относительно крупных графеновых листов с отдельными молекулами.
Составляя из этих листов проницаемый нанопористый слой нетрудно
найти эквивалентный ему однородный слой и определить его
проницаемость.

13.

Континуальная модель
Классический LJ-потенциал имеет слишком сильную особенность в
нуле и не может быть проинтегрирован ни по поверхности, ни по
объему. Тогда вместо классического потенциала:
(10)
можно рассмотреть модифицированный потенциал:
(11)
Преимущество выражения (11) состоит в том, что оно позволяет
интегрировать распределение силовых центров-источников поля по
объему тела различной формы.

14.

Континуальная модель
Рисунок 7 – Графики функций Ф(ρ) и Ф1(ρ)

15.

Континуальная модель
Упомянутая выше модификация LJ-потенциала имеет следующий вид:
(12)
где dU – энергия выделенного фрагмента, ε, σ – параметры LJпотенциала, ρ – расстояние между центром пробной молекулы и
центром элементарной площади на поверхности 2D-материала, q –
плотность распределения источников энергии на поверхности, ds –
элементарная площадка на поверхности графенового листа.
Для графеновой структуры легко найти, что q≈28 нм–2.
Интегрируя (12) по поверхности графеновой пластинки, получим:
(13)

16.

Континуальная модель
• Двукратное интегрирование в (9) можно выполнить численно,
применяя последовательно для каждого из интегралов формулу
трапеций, парабол.
• Далее мы можем найти среднее по поверхности слоя значение
потенциала. В этом случае результат интегрирования будет зависеть
только от координаты z.
• Проходя
через
однородный
слой,
молекула,
пущеная
перпендикулярно слою, не будет испытывать силовых воздействий,
отклоняющих ее от прямолинейной траектории. Поэтому уравнение
движения такой молекулы будет одномерным:
(14)

17.

Континуальная модель
Рисунок 8 – Величина и форма барьера параллельной укладки при различном
расстоянии между углеродными пластинками, 1 – 3,0 нм, 2 – 1,75 нм, 3 – 0,65 нм

18.

Дискретная модель
Рисунок 9 – Величина потенциального барьера из 1 разреженной графеновой
пластины

19.

Спасибо за внимание!