Математика. Лекция 8. Тема 1. Кривые второго порядка

1.

Математика
Лекция 8

2.

Литература
• 1. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Вся высшая
математика: Учебник. М.: Едиториал УРСС, 2003. Т. 1. - 328 с.
• 2. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике
/Д.Т.Письменный. Ч.1. М.: Айрис-пресс, 2003. 288 с.
• 3. Сборник задач по математике для втузов. Ч.1./ под ред.
А.В. Ефимова и А.С. Поспелова. М.: Издательство Физикоматематической литературы, 2003. – 288 с.
• 4. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии:
Учеб.пособие для втузов. СПб, Изд-во «Профессия», 2003. – 200с.
• 5. Индивидуальные задания по алгебре и геометрии на сайте
http://rtf.urfu.ru/ (закладка: студенту)

3.

.
§1. Кривые второго порядка
Кривые второго порядка – это линии на плоскости,
которым соответствуют уравнения второго порядка.
Установлено, что к кривым второго порядка
относятся эллипс, гипербола, парабола.
Других кривых второго порядка нет, если не
учитывать случаи вырождения кривых в точку или
прямые.
Общий вид уравнения кривой второго порядка:
a11x 2a12 xy a10 x a20 y a00 0
2

4.

.
§1. Кривые второго порядка
Линии на плоскости задаются как множество точек
плоскости, обладающих общим присущим только
им свойствам.
Уравнение линии γ – уравнение, которому
удовлетворяют все точки этой линии и никакие
другие точки плоскости.
M (x, y) F(x, y) 0

5.

.
Пример. Определить порядок уравнения
x2−xy2=0
2x−xy+3y=0
2x2+3x3y2+5=0
x2y+y2x+3=0
x2+y2+1=0

6.

.
Эллипс и его уравнение
Эллипсом называется множество точек плоскости,
сумма расстояний от каждой из которых до двух
данных точек, называемых фокусами, есть величина
постоянная, большая, чем расстояние между
фокусами.
Пусть F1 и F2 − фокусы эллипса.
М−произвольная точка эллипса
Обозначим: |F1F2| = 2c, тогда
M (x, y) |F1M|+|F2M| = 2a,
где a > c.

7.

.
Выберем систему координат так,
чтобы ось Ох проходила между
фокусами. Тогда
F1 c,0 , F2 c,0
M (x, y) F1M F2 M 2a, a c

8.

.

9.

.

10.

.
x2 y2
2 1 − каноническое уравнение эллипса
2
a
b
(b2=a2−c2).
Если b=a, то уравнение примет вид:
х2+у2 = а2 − каноническое уравнение окружности.
Точка (0; 0) − центр эллипса.
c
Соотношение a , 0 1 называют
экцентриситетом.

11.

.
Рассмотрим преобразование плоскости –
параллельный перенос:
x x x0
y y y0
x x x0
.
y y y0
Подставим в уравнение
полученные выражения:
x2 y2
2 1
2
a
b
( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2
1;
2
2
a
b

12.

.
Если центр смещен в точку (х0; у0), то уравнение
эллипса примет вид:
2
2
( x x0 ) ( y y 0 )
1;
2
2
a
b
a, b − полуоси эллипса.
( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2
1,
Если уравнение имеет вид
2
2
a
b
то получаем мнимый эллипс (пустое множество).
( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2
0,
Если уравнение имеет вид
2
2
a
b
то получаем вырожденный эллипс (точка (х0; у0)).

13.

.
Построение эллипса по каноническому уравнению
( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2
1
2
2
a
b

14.

.
Гипербола и ее уравнение
Гиперболой называется множество точек плоскости,
модуль разности расстояний от каждой из которых
до двух данных точек, называемых фокусами, есть
величина постоянная, меньшая, чем расстояние
между фокусами.
Пусть F1 и F2 − фокусы гиперболы.
Обозначим:
|F1F2| = 2c, ||F1M|−|F2M||= 2a,
где М−произвольная точка гиперболы;
a < c.

15.

.
Выберем прямоугольную систему координат так же,
как и в случае вывода уравнения эллипса.
Тогда MF1 ( x c) 2 y 2 , MF2 ( x c) 2 y 2 ;
( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a.
После преобразования получим:
x2 y2
2 1 − каноническое уравнение гиперболы
2
a
b
(b2=с2−а2).
c
, 1.
Эксцентриситет гиперболы
a

16.

.
Если центр смещен в точку (х0; у0), то уравнение
гиперболы примет вид:
( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2
1
2
2
a
b
a − действительная полуось гиперболы;
b − мнимая полуось гиперболы.
( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2
0,
Если уравнение имеет вид
2
2
a
b
то получаем вырожденную гиперболу
(пару пересекающихся прямых).

17.

.
Построение гиперболы по каноническому уравнению
( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2
1
2
2
a
b

18.

.
( x x0 ) 2 ( y y 0 ) 2
1
2
2
a
b

19.

.
Парабола и ее уравнение
Параболой называется множество точек плоскости,
равноудаленных от данной точки, называемой
фокусом, и от данной прямой, называемой
директрисой.
Пусть F − фокус,
прямая CB – директриса.
Выберем систему координат
следующим образом: ось Oy проведем через фокус F
перпендикулярно директрисе CB, а ось Ox –
посередине между фокусом и директрисой.

20.

.
Обозначив расстояние от фокуса до директрисы
через p, получим координаты фокуса F(0;p/2).
Пусть M(x; y) − произвольная точка параболы.
По определению параболы MF=MB, т.е.
2
p
p
2
x y y .
2
2
После преобразования получим
x 2 2 py − каноническое уравнение параболы;
(0; 0) − вершина параболы,
х=0 − ось симметрии.

21.

.
Уравнение параболы с вершиной, смещенной в точку
(х0; у0), и осью симметрии, параллельной оси Оу (х=х0),
примет вид: x x0 2 2 p y y 0 .
Уравнение параболы с вершиной, смещенной в точку
(х0; у0), и осью симметрии, параллельной оси Ох (у=у0),
примет вид: ( y y ) 2 2 p ( x x ).
0
0

22.

.
Построение параболы по каноническому уравнению

23.

.
Пример 1. Привести уравнение к каноническому
виду и построить соответствующую линию

24.

.
Пример 2. Привести уравнение к каноническому
виду и построить соответствующую линию

25.

.
Пример 3. Привести уравнение к каноническому виду
и построить соответствующую линию

26.

.
Пример 4. Составить уравнение гиперболы с
фокусами F1(2; 5), F2(2; 3) и с равными полуосями.
Выполнить построение.

27.

.
Пример 4. Составить уравнение гиперболы с
фокусами F1(2; 5), F2(2; 3) и с равными полуосями.
Выполнить построение.