Первообразный и неопределенный интеграл

1.

F ( x ) f ( x )
b
11 класс
« Алгебра и начала
математического
анализа»
f
(
x
)
dx
a

2. Понятие первообразной

Функцию F(x) называют первообразной для
функции f(x) на интервале (a; b), если на нем
производная функции F(x) равна f(x):
F ( x ) f ( x )
Операцию,
обратную
дифференцированию
называют интегрированием.

3.

Примеры
1. f(x) = 2x; F(x) = x2
F (x)= (x2) = 2x = f(x)
2. f(x) = – sin x; F(x) = сos x
F (x)= (cos x) = – sin x = f(x)
3. f(x) = 6x2 + 4; F(x) = 2x3 + 4x
F (x)= (2x3 + 4x) = 6x2 + 4 = f(x)
4. f(x) = 1/cos2 x; F(x) = tg x
F (x)= (tg x) = 1/cos2 x= f(x)

4. Неопределенный интеграл

Неопределенным интегралом от непрерывной на
интервале (a; b) функции f(x) называют любую ее
первообразную функцию.
f
(
x
)
dx
F
(
x
)
c
где С – произвольная постоянная (const).

5.

Примеры
1. Adx Ax C ; Ax C A
2. e dx e С;
x
x
x
4. x dx
С;
4
3
x
cos x C sin x
3. sin xdx cos x С ;
4
e C e
x
x
1
С 4x 3 x 3
4
4
1
5.
dx tg x C ;
2
cos x
4
tg x C
1
2
cos x

6. Таблица первообразных

F(x)
x n 1
C
n 1
2x x
C
3
sin x C
cos x C
tgx C
ctgx C
F(x)
f(x)
x
a C
ax
lna
х
1
C
x
ln x
cos x
ex C
ex
f(x)
x
n
sin x
1
сos 2 x
1
sin2 x
C
Cx
loga x C
1
x lna
arcsin x C
1
1 x2

7.

Три правила нахождения
первообразных
1º Если F(x) есть первообразная для
f(x), а G(x) –
первообразная для g(x), то F(x) + G(x) есть
первообразная для f(x) + g(x).
2º Если F(x) есть первообразная для f(x), а k –
постоянная, то функция
kF(x) есть
первообразная для kf.
3º Если F(x) есть первообразная для f(x), а k и b –
1
постоянные, причем k ≠ 0, то функция k
есть первообразная для f(kx + b).
F(kx + b)