Структурні середні і способи їх обрахунку. Лекція 6

1. СТРУКТУРНІ СЕРЕДНІ І СПОСОБИ ЇХ ОБРАХУНКУ

План
1. Медіана (Me).
2. Мода (Мо).
3. Квантілі.

2. СТРУКТУРНІ СЕРЕДНІ

• Середня арифметична — одна з основних
характеристик варіюючих об'єктів по тій або іншій
ознаці. Проте вона не позбавлена недоліків, оскільки
дуже чутлива до збільшення числа спостережень або
до зменшення за рахунок варіант, різко відмінних по
своїй величині від основної маси. Тому на величину
середньою арифметичною можуть значно впливати
крайні члени ранжируваного варіаційного ряду, які
якраз є якнайменш характерними для даної
сукупності. У зв'язку з цим у багатьох випадках як
узагальнювальні характеристики сукупності більш
корисними є так звані структурні середні.
• Ці величини звичайно є конкретними варіантами
наявної сукупності, які займають особливе місце у
ряді розподілу.

3. Медіана (Me)

• Медіана — середня, щодо якої ряд розподілу
ділиться на дві рівні частини: у обидві
сторони
від
медіани
розташовується
однакове число варіант. За наявності
невеликого
числа
варіант
медіана
визначається досить просто. Для цього
зібрані дані ранжирують, і при непарному
числі членів ряду центральна варіанта і буде
його медіаною. При парному числі членів
ряду медіана визначається по напівсумі двох
сусідніх варіант, розташованих в центрі
ранжируваного ряду.

4.

• Наприклад, для ранжируваних значень
ознаки — 12 14 16 18 20 22 24 26 28 —
медіаною буде центральна варіанта,
тобто Ме = 20, оскільки в обидві
сторони від неї відстоїть по чотири
варіанти. Для ряду з парним числом
членів — 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 —
медіаною
буде
напівсума
його
центральних членів, тобто
Ме =(14+16) /2=15.

5.

• Для даних, згрупованих у варіаційний ряд, медіана
визначається таким чином. Спочатку знаходять клас, в
якому міститься медіана. Для цього частоти ряду
кумулюють в напрямі від менших до більших значень класів
до величини, що перевищує половину всіх членів даної
сукупності, тобто n/2. Перша величина у ряді накопичених
частот
f , яка перевищує n/2, відповідає медіанному
класу. Потім беруть різницю між n/2 і сумою накопичених
частот f , передуючої медіанному класу, яка відноситься
до частоти медіанного класу fMe; отриманий результат
перемножують на величину класового інтервалу . Знайдену
у такий спосіб величину додають до нижньої межі хн
медіанного класу. Якщо ж початкові дані розподілені в
безінтервальний варіаційний ряд, названу величину
додають до напівсуми сусідніх класових варіант. В
результаті виходить шукана величина медіани.
i
i

6.

Описані дії виражаються у вигляді наступної формули:
n
fi
Me x н ( 2
)
f Me
де хн — нижня межа класового інтервалу, що містить
медіану, або напівсума сусідніх класів безінтервального
ряду, в проміжку між якими знаходиться медіана; f i —
сума накопичених частот, що стоїть перед медіанним
класом; fMe — частота медіанного класу; — величина
класового інтервалу; n — загальне число спостережень.

7.

Приклад. Визначити медіану для ряду розподілу кількості поросят в
опоросах 64 свиноматок.
Кількість поросят в
Число випадків fi
Накоплення частоти fi
опоросі хі
5
4
4
6
7
11
7
13
24
8
15
39
9
7
-
10
9
-
11
6
-
12
3
-
Сума
64
-
Тут n/2=64/2=32. Ця величина перевершує f i=24, але менше f i= 39. Отже,
медіана знаходиться між 7-м і 8-м значеннями класів і хн= (7+8)/2=7,5.
Частота медіанного класу fMe=15. Звідси Ме 7,5
39 24
7,5 0,53 8,03
15
Медіана цього розподілу дуже близька до середньої арифметичної х=8,25
поросят.

8. Мода (Мо)

• Модою називається величина, що найчастіше
зустрічається в даній сукупності. Клас з найбільшою
частотою називається модальним. Він визначається
досить просто в безінтервальних рядах. Наприклад,
мода розподілу чисельності поросят в опоросах 64
свиноматок дорівнює 8.
• Для визначення моди інтервальних рядів служить
формула:
f 2 f1
Мо хн (
)
2 f 2 f1 f 3
де хн — нижня межа модального класу, тобто класу з
найбільшою частотою f2; f1 — частота класу,
передуючого модальному; f3 — частота класу,
наступного за модальним;
— ширина класового
інтервалу.

9.

Приклад. Визначити моду ряду розподілу кальцію (мг%) в
сироватці крові мавп. Частота модального класу f2=25, його
нижня межа хн=ll,8. Частота класу, передуючого модальному,
f1=23, частота класу, наступного за модальним, f3 = 17; =0,8.
Підставляючи ці дані у формулу, знаходимо:
25 23
Мо 11,8 0,8(
) 11,8 0,16 11,96
2 * 25 23 17

10. Квантілі

• Разом з медіаною і модою до структурних характеристик
варіаційного ряду відносяться так звані квантілі, що відсікають
в межах ряду певну частину його членів. До них відносяться
квартілі, децилі і перцентілі (процентілі). Квартілі — це три
значення ознаки (Q1, Q2, Q3), які ділять ранжируваний
варіаційний ряд на чотири рівні частини. Аналогічно, дев'ять
децилів ділять ряд на 10 рівних частин, а 99 перцентілів — на
100 рівних частин.
• У практиці використовують звичайно перцентілі Р3, Р10, Р25, P50,
P75, Р90 і Р97. При цьому Р25 і P75 відповідають першому і
третьому квартілям, між якими знаходиться 50% всіх членів
ряду, а P50 відповідає другому квартілю і рівний медіані, тобто
P50=Ме. Будь який перцентіль визначається рядом послідовних
дій, які можна виразити у вигляді наступної формули:
Рi x н (
K fi
fP
)