Волшебный треугольник Паскаля

1.

ВОЛШЕБНЫЙ
ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ
удивительное математическое явление, которое играет важную роль в
науке и математике

2.

История открытия Треугольника
Паскаля
Треугольник Паскаля был открыт французским математиком Блезом Паскалем в XVII веке. Однако, идея
треугольника была известна в древности и у древних китайцев, арабов и европейских математиков.
Паскаль первым представил треугольник в удобной для вычислений форме, а также открыл множество его свойств и
закономерностей. Он внес значительный вклад в развитие комбинаторики, теории вероятностей и численных методов
в математике.
В то время, когда математика еще только начинала развиваться как наука, треугольник Паскаля был одним из самых
удивительных открытий. Он обнаружил, что числа в треугольнике имеют множество интересных свойств и
закономерностей.
Треугольник Паскаля нашел применение не только в математике, но и в различных научных областях. В физике его
использовали для моделирования физических процессов, в биологии — для анализа генетических
последовательностей, а в компьютерных науках и информатике — для оптимизации алгоритмов и вычислений.

3.

Свойства треугольника
Треугольник Паскаля (арифметический треугольник) —
бесконечная таблица биноминальных коэффициентов,
имеющая треугольную форму.
• На вершине треугольника стоит число 1.
• Каждое число равно сумме двух расположенных над ним
чисел.
• Треугольник можно продолжить неограниченно.
• Он обладает симметрией относительно вертикальной
оси, проходящей через его вершину.
• Первая диагональ треугольника Паскаля – это
натуральные числа, идущие по порядку.
Задание: продолжить треугольник до 7-ой строки.

4.

Решение задач с применением
Треугольника Паскаля
Задача 1.
Из шести врачей поликлиники двух необходимо отправить на курсы повышения квалификации.
Сколькими способами это можно сделать?
Решение:
Найду диагональ шестую сверху и отсчитываю два числа по горизонтали. Получу число 15.
Задача 2. У ювелира есть пять изумрудов, восемь алмазов, четыре топаза.
Сколькими способами он может сделать браслет, включив в него
два изумруда, три алмаза и два топаза?

5.

Решение задач с применением
Треугольника Паскаля
Задача 3.
Найти вероятность выпадения ровно 5 гербов при одновременном бросании 10 монет.
Решение:
1.Подсчитаем, сколько существуют различных способов, позволяющих выбрать 5 монет из 10.
Ответ мы получим, найдя число, стоящее на пересечении 5-й диагонали и 10-й строки. Оно равно 252.
2. Сложим все числа, стоящие в 10-й строке, найдем все возможные исходы эксперимента. Сумма этих
чисел равна 1024.
3. Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение m/n, где n – число всех
возможных исходов эксперимента, а m – число всех благоприятных исходов: Р(А)= m/n.
По формуле нахождения вероятности получим:
Вероятность выпадения пяти гербов при бросании 10 монет равна 252/1024=0,24609375≈0,2
Задача 4. В пачке находятся одинаковые по размеру 7 тетрадей в линейку и 5 в клетку. Из пачки наугад
берут 3 тетради. Какова вероятность того, что все три тетради окажутся в клетку?

6.

Физические и инженерные приложения треугольника Паскаля
Треугольник Паскаля используется в различных областях науки и инженерии для решения задач.
1.
Теория вероятностей и статистика: Треугольник Паскаля позволяет вычислять биномиальные вероятности и биномиальные
коэффициенты. Он используется при решении задач, связанных с комбинаторикой, вероятностными распределениями и нахождением
чисел сочетаний и размещений.
2.
Телекоммуникации: В телекоммуникационных системах многое базируется на возможности передачи и обработки данных.
Треугольник Паскаля может быть использован для определения количества возможных путей передачи данных или сообщений. Он
также применяется для кодирования и декодирования информации, особенно в области проверки ошибок и кодовых
последовательностей.
3.
Электротехника и электроника: В области электротехники и электроники треугольник Паскаля может быть применен для расчета
значений резисторов, конденсаторов и индуктивностей в различных электрических цепях. Он также используется для описания
полиномиальных аппроксимаций, анализа многомерных систем и моделирования электрических сигналов.
4.
Инженерные исследования: Треугольник Паскаля применяется в инженерных исследованиях для определения и анализа
различных параметров и свойств материалов, структур и систем. Например, он может быть использован для оценки прочности
материала при различных нагрузках или для анализа распределения сил в сложных конструкциях.
5.
Компьютерные науки: В компьютерных науках треугольник Паскаля широко применяется в алгоритмах и структурах данных. Он
используется, например, в вычислении коэффициентов биномиального разложения в различных операциях, таких как возведение в
степень и вычисление биномиальных коэффициентов.
Применение треугольника Паскаля в различных областях науки и инженерии позволяет решать сложные задачи и проводить точные
вычисления, основываясь на комбинаторных принципах и биномиальном распределении.