Элементы логики. Высказывания и предикаты, операции над ними. Кванторы. Построение отрицания сложного высказывания

1.

Математический анализ
Л е к ц и я 1.
Введение в курс. Элементы логики. Высказывания и предикаты,
операции над ними. Кванторы. Построение отрицания сложного
высказывания. Теорема как импликация. Прямая, обратная и противоположная теоремы, связь между ними. Доказательство от противного. Метод математической индукции. Бином Ньютона. Неравенство Бернулли.
При изучении курса математического анализа мы будем иметь дело с различными
высказываниями. Высказыванием называют предложение, относительно которого
имеет смысл говорить, истинно оно или ложно.
Пример. Пусть имеются предложения:
A = {дважды два — четыре},
B = {семью семь — сорок семь},
С = {всяк кулик своё болото хвалит}.
Очевидно, A и B — высказывания. Относительно предложения C этого сказать нельзя,
во всяком случае до уточнения его смысла.
Над высказываниями можно производить различные операции. Пусть A — высказывание. Отрицая то, что утверждается в A, мы получим новое высказывание. Отрицание ¬A
высказывания A истинно, если A ложно и ложно, если A истинно. Из двух высказываний A
и ¬A одно всегда истинно, а другое ложно. Для высказывания A из рассмотренного
выше примера имеем
¬A = {дважды два — не четыре}.
Имея два высказывания A и B мы можем рассмотреть их конъюнкцию A &B, т.е. высказывание, которое истинно, если истинны оба высказывания A и B и ложно во всех
остальных случаях. Для фактического получения конъюнкции соответствующие предложения соединяют союзом « и ». Например, для высказываний A и B из рассмотренного
выше примера имеем
A &B = {дважды два — четыре, и семью семь — сорок семь}.
Очевидно, в данном случае A &B — ложное высказывание.
1

2.

Дизъюнкцией A ∨ B высказываний A и B называют высказывание, которое ложно, если
ложны оба высказывания A и B и истинно во всех остальных случаях. Для получения
высказывания A ∨ B те предложения, с помощью которых выражены A и B, соединяют
союзом « или ». Например, для высказываний A и B из нашего примера получаем:
A ∨ B = {дважды два — четыре, или семью семь — сорок семь}.
Это — истинное высказывание.
Рассмотрим ещё импликацию A ⇒ B, которая считается ложным высказыванием,
если A истинно, а B ложно и истинным во всех остальных случаях. При построении
импликации используют двойной союз « если . . . то ». Например,
A ⇒ B = {если дважды два — четыре, то семью семь — сорок семь}.
Это — ложное высказывание. Зато высказывание
B ⇒ A = {если семью семь — сорок семь, то дважды два — четыре}
истинно.
Для дальнейшего нам потребуется понятие множества. В математике рассматривают
самые разные множества: множества чисел, точек, геометрических фигур, букв и т.д.
Всякое множество X состоит из элементов; запись x ∈ X означает, что x есть элемент
множества X. Отрицание последнего высказывания записывают так: x ∈
/ X.
Рассмотрим следующие предложения:
B = {x2 = 4}.
A = {x = 2},
Эти предложения высказываниями не являются. Однако, если вместо x подставлять конкретные числа (т.е. элементы множества R действительных чисел), то мы будем каждый
раз получать высказывания. Такие предложения, зависящие от элементов x некоторого
множества X и превращающиеся в высказывания при подстановке вместо x конкретных
элементов этого множества, называются неопределёнными высказываниями (по-учёному
— «предикатами»).
С помощью квантора общности ∀ из неопределённого высказывания A(x) можно построить высказывание
∀xA(x),
(1)
которое считается истинным, если A(x) истинно при всех x (из множества X ) и ложным
в противном случае (т.е. если A(x) ложно хотя бы при одном x ∈ X). Квантор ∀ часто
используют для замены слов «для любого», «для всех», «любой» и т.п.
Если в множестве X существует хотя бы один элемент x, для которого высказывание
A(x) истинно, то истинным считается и высказывание, полученное с помощью квантора
существования ∃:
∃xA(x).
(2)
Это высказывание считается ложным лишь в случае, когда A(x) ложно при всех x ∈ X.
Квантор существования часто используют для замены слов «существует», «найдётся» и
т.п.
Отрицание высказывания (1) очевидно, заключается в том, что A(x) ложно хотя бы
при одном x ∈ X. Записать это можно так:
∃x¬A(x).
Мы видим, что при построении отрицания высказывания (1) можно действовать формально: надо заменить квантор общности квантором существования, а высказывание A(x)
2

3.

Only two pages were converted.
Please Sign Up to convert the full document.
www.freepdfconvert.com/membership