Позиционные системы счисления

1. Позиционные системы счисления

За 2 тысячи лет до нашей эры появилась
первая позиционная система счисления –
вавилонская.
Вавилонская шестидесятиричная система
сыграла большую роль в развитии
математики и астрономии. Ее следы
сохранились до сих пор. Мы делим час на 60
минут, минуту на 60 секунд, окружность на
360 частей (градусов).

2. Числа составлялись из знаков треугольника (клиньев).

3.

Число 60 имело тот же знак,
что 1. Этим же знаком
обозначались степени 60.
Все числа от 1 до 59
записывали в десятичной
непозиционной системе, а
число в целом в позиционной
системе с основанием 60.
Впервые в Древнем Вавилоне
появился специальный символ
для обозначения пропущенного
разряда.

4. Мультипликативные системы

Позиционные системы счисления возникли независимо
одна от другой в Междуречье, у племени Майя, в
древнем Китае, Индии. Это были
мультипликативные системы записи.
Для записи чисел используются одни и те же символы,
но после каждого символа пишется название
соответствующего разряда – 323 – 3Y 2X 3.
Следующей ступенью было найти символ для
обозначения отсутствующего разряда при письме.

5. Появление нуля

Примерно во 2 веке до нашей эры греки
заимствовали у вавилонян систему
счисления, заменив клинья своей
алфавитной нумерацией.
Для обозначения нулевого разряда
использовался символ «0» – первая буква
греческого слова Ouden – «ничто». Этот знак
и стал прообразом нашего нуля.

6. Десятичная позиционная система счисления

Десятичная система счисления возникла в Индии в 5 веке до
нашей эры.
Познакомившись с вавилонской системой счисления, греческой
астрономией и греческим круглым нулем, индийцы соединили с
ними свою мультипликативную десятичную систему. Это был
завершающий шаг в создании нашей десятичной системы
счисления (между II и IV в.в. до н.э.).
С десятичной системы счисления первыми познакомились арабы,
которые завезли ее в Европу. С 12 века десятичная система
счисления получила широкое распространение в Европе под
названием арабской, а цифры, используемые при записи чисел,
– арабскими. Будучи проще и удобнее остальных систем, она
довольно быстро вытеснила все другие способы записи чисел.

7. Позиционная система счисления: определение, алфавит, основание

Позиционной называют систему счисления, в которой числовое значение каждой
цифры зависит от номера ее позиции в последовательности цифр,
представляющих число.
Позиция цифры в числе называется разрядом.
Разряд числа возрастает справа налево, от младших разрядов к старшим.
2 1 0 - номера разрядов
345
Каждая позиционная система счисления имеет алфавит цифр и основание.
Совокупность различных цифр, используемых в позиционной системе счисления
для записи чисел, называется алфавитом системы счисления.
Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр (знаков в
ее алфавите) и определяет во сколько раз различаются значения цифр
соседних разрядов.

8. Свернутая и развернутая система записи

Свернутая система записи – 345.
Развернутая система записи –
5.100 + 4.101 + 3.102

9. Двоичная система счисления

В компьютерах и в компьютерных
информационных системах и сетях большое
значение имеет двоичная система счисления.
Двоичная система проста – в ней для
представления информации используются
всего две цифры : 0 и 1.
Ее использование связано с удобством и
надежностью представления цифр 1 и 0 в
логических элементах компьютера.
Основание двоичной –счисления – 2.
Алфавит двоичной системы счисления – 0 и 1
(всего две цифры).

10. Когда заканчиваются все цифры, то состоится перенос в другой разряд.

Составим таблицу соответствия десятичных чисел от 0 до 16 и двоичных
чисел (соответствующих им), используя перенос в другой разряд.
02 = 0
12 = 1
102 = 2
112 = 3
1002 = 4
1012 = 5
1102 = 6
1112 = 7
10002 = 8
10012 = 9
10102 = 10
10112 = 11
11002 = 12
11012 = 13
11102 = 14
11112 = 15
100002 = 16

11.

Возьмем двоичное число и представим его в развернутой форме
11012 = 1.20 + 0. 21 + 1. 22 + 1. 23 = 1+0+4+8=1310
1011012 =
Правило перевода из произвольной системы
счисления в десятичную.
Для того, чтобы перевести число из произвольной системы
счисления в десятичную систему счисления, нужно сложить все
произведения каждой цифры числа на основание системы
счисления в степени соответствующего разряда.
1358 =
2135 =
1123=

12.

Если основание системы счисления больше 10,
но меньше 36, то в качестве первых десяти
цифр используют десять арабских цифр, а в
качестве остальных «цифр» - буквы
латинского алфавита.
Для систем с основанием больше 36 единых
правил записи не существует (пользователь
может сам решать какие символы для этого
использовать).
Выпишем латинский алфавит - (всего 26 букв)
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

13.

Перевести в десятичную систему
счисления:
1F16 =
15FС16 =
39D16 =
1K30 =

14. Задания:

1. Какие числа записаны с ошибкой, ответ объясните 1237, 30055,
12ААС0920, 134767.
2. Какое минимальное основание может иметь система
счисления, если в ней записаны следующие числа a) 432, 120,
111, 2331
b) 23, 67
c) 710, 2D1, 201
3. Запишите в 6-ричной системе счисления число, следующее за
числом 5.
4. Какое число следует за числом 1114 в 4-ричной системе
счисления?
5. Какое число предшествует числу 108 в 8-ричной системе
счисления?
6. Запишите с системе счисления с основанием 234 число 235.
7. Какое из чисел больше: 510 или 58, 11112 или 11118?
8. Во сколько раз увеличится число 3256, если приписать к нему
справа ноль?

15. Домашнее задание:

Перевести в десятичную систему счисления:
101012 =
110011012 =
657 =
6418=
AF1H20 =
F1F16 =
11178 =