Справочник планиметрии

1. Справочник планиметрии.

ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ.
7 - 9 К Л АСС .
СО З Д АТ Е Л Ь П Р Е З Е Н ТА Ц И И У Ч И Т Е Л Ь
М АТ Е М АТ И К И А Н К И Н А Т. С .
Г. Е К АТ Е Р И Н Б У Р Г
М АО У - Г И М Н А З И Я № 1 3

2. Справочник планиметрии.

3. Использованные ресурсы.

1.Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др.
Геометрия, 7-9. М. :Просвещение, 2008.
2. Л.И. Звавич, А.Р. Рязановский
Геометрия в таблицах, 7-11кл. :
Справочное пособие/М. :Дрофа, 2002.

4. Как пользоваться справочником.

1. После прочтения инструкции перейдите на
следующий слайд «Основные темы».
2. Выбрав тему, «кликните» по её названию.
3. Для продолжения просмотра выбранной
темы «кликните» по стрелке «Далее».
4. Для возвращения к списку тем «кликните»
по кнопке «Вернуться»

5. Основные темы.

Закрыть справочник.
1.Углы и параллельность.
2.Треугольник.
3.Параллелограммы.
4. Трапеции.
5. Окружность.
6. Площади.
7. Правильные многоугольники.

6. Углы и параллельные прямые.

Вернуться
1.Углы и их виды.
2.Углы и параллельные прямые.
3. Аксиома параллельных. Свойства.
4.Теорема Фалеса.

7.

1.Угол.
В
биссектриса
А
D С
H
САМ
4. Смежные углы.
С
D
СAD и ВАСсмежные
СAD + ВАС=180˚
ВАС=180˚
3.Виды углов.
С
ВАС
АМ - биссектриса
В
В
М
вершина
ВАМ=
2.Развёрнутый угол.
С
А
А
В
BAD=90˚прямой
СAВ<90˚острый
НAВ>90˚тупой
5. Вертикальные углы равны.
С
А
В
H
D
Вернуться

8.

5.Угол между прямыми.
С
А
В
<90˚
6.Углы при секущей.
c
4
а
H
D
1
2
3
8
b
Пары углов: (2;8); (3;5)-накрест
лежащие, (1;5); (4;8); (3;7); (2;6)соответственные, (3;8); (2;5)односторонние.
7.Параллельные прямые.
а
5
6
7
а||b
b
8.Признаки и свойства параллельных прямых.
1
а
b
3
а
а||b
5
c
b
а
b
2
а||b
5
c
а||b
5
c
Вернуться
<2+<5=180˚

9.

9.Аксиома параллельных прямых.
а
А
Через точку А, не лежащую на
прямой b, в плоскости можно
провести прямую а, параллельную
данной прямой b, и притом
только одну.
b
10.Транзитивность параллельных прямых.
а
Если две различные прямые
параллельны третьей, то они
параллельны между собой.
с
b
11.Связь перпендикулярности с параллельностью.
а
с
b
Если две различные прямые
перпендикулярны третьей, то они
параллельны между собой.
Вернуться

10.

12. Теорема Фалеса.
А₁
А₂
А₃
А₄
13. Расширенная теорема
Фалеса.
А₅
А₁
В₁
В₂
В₃
В₄
А₂
В₁
В₅
Если на одной из двух прямых
отложить несколько равных
отрезков и через их концы
провести параллельные прямые
до пересечения с другой прямой,
то и на ней отложатся равные
отрезки .
А₃
А₄
В₂
В₃
В₄
Если на одной из двух прямых
отложить несколько отрезков
и через их концы провести
параллельные прямые до
пересечения с другой прямой,
то и на ней отложатся
отрезки, пропорциональные
данным .
А₁А₂:А₂А₃:А₃А₄=В₁В₂:В₂В₃:В₃В₄
Вернуться

11. Треугольники.

Вернуться
1.Треугольник, его элементы.
2.Признаки равенства.
3.Подобие.
4. Линейные элементы.
5. Площадь.
6. Теоремы синусов и косинусов.
7. Вписанная и описанная окружности.
8. Виды.

12.

1. Треугольник.
вершина
А
М
Вернуться
Геометрическая фигура, состоящая из трёх
точек, не лежащих на одной прямой, и трёх
отрезков, попарно их соединяющих,
называется треугольником.
сторона
С
вершина
вершина
В
2. Неравенство треугольника.
В любом треугольнике каждая сторона меньше суммы двух других
сторон и больше их разности. В противном случае треугольник
не существует: ВС-АС<АВ<ВС+АС…
3. Внешний угол треугольника и его свойство.
Угол АВМ, смежный с углом АВС треугольника, называется
внешним углом треугольника.
Внешний угол треугольника равен сумме углов треугольника,
не смежных с ним:
АВМ= С+ А
4.Сумма углов треугольника. А+ В+ С=180˚.

13.

5.Признаки равенства треугольников.
А₁
А
По двум сторонам и углу
между ними.
В
А
С
В₁
А₁
С₁
По стороне и двум углам,
прилежащим к ней.
В
А
С В₁
А₁ С₁
По трём сторонам.
В
С В₁
С₁
Вернуться

14. Подобие треугольников.

Вернуться
1.Признаки подобия.
2.Примеры и свойства.

15.

6.Признаки подобия треугольников.
Два треугольника называются подобными, если углы одного из них
соответственно равны углам другого, а сходственные стороны
пропорциональны:
А= А₁; В= В₁; С= С₁; АВ:А₁В₁=АС:А₁С₁=ВС:В₁С₁=k.
В₁
В
По двум углам .
А С₁
С
В
ka
a
b А С₁
С
В
С
В₁
А₁
a
c
b
А С₁
По двум сторонам и углу
между ними.
kb
В₁
ka
А₁
kc
kb
А₁
По трём сторонам.
Вернуться

16.

7. Примеры и свойства подобных треугольников.
А
В₁
С₁
В
С
Прямая, параллельная стороне треугольника,
отсекает от него треугольник, подобный данному.
Сходственные биссектрисы, медианы и высоты треугольников
пропорциональны сходственным сторонам.
Отношение периметров подобных треугольников равно отношению
cходственных сторон (коэффициенту подобия k) .
РАВС
k
РА1В1С1
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату
отношения cходственных сторон (квадрату коэффициента
S АВС
подобия k²) .
2
S А1В1С1
k
Вернуться

17. Линейные элементы.

Вернуться
1.Медиана.
2.Высота.
3.Биссектриса.
4.Средняя линия.

18.

8. Медиана треугольника.
А
С₁
В₁ Медианой треугольника называется отрезок,
соединяющий вершину треугольника с серединой
противоположной стороны.
М
В
А₁
С
Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центре
тяжести треугольника) и делятся ею в отношении 2:1, считая
от вершины: АМ:МА₁=ВМ:МВ₁=СМ:МС₁=2:1.
Медиана треугольника делит его на два равновеликих (с равными
площадями) треугольника.
Все медианы треугольника делят его на 6 равновеликих
треугольников.
2
2
2
2b 2c a
АА1 та
4
2
2
Вернуться

19.

9. Высота треугольника.
А
Высотой треугольника называется
С₁
В₁
Н
В
А₁ С
А
В₁
А₁
Н
В
С₁
перпендикуляр, опущенный из вершины
треугольника к прямой, содержащей
противолежащую сторону .
Все высоты треугольника или прямые, их
содержащие, пересекаются в
одной точке – ортоцентре треугольника.
С АА1 ha ; BB1 hb ; CC1 hc
Н ортоцентр
1 1 1 1
ha hb hc r
r- радиус вписанной окружности.
Вернуться

20.

10. Биссектриса треугольника.
А
С₁
В
О
А₁
Вернуться
Биссектрисой треугольника называется
отрезок биссектрисы угла треугольника,
В₁ расположенный внутри него.
Все биссектрисы треугольника пересекаются
в одной точке – центре вписанной окружности.
С
Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на
отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам .
ВА1 СА1
ВА СА
ВС1 АС1
ВС
АС
АВ1 СВ1
АВ СВ
11. Средняя линия треугольника.
А
В
М
N
Средней линией треугольника называется
отрезок, соединяющий середины двух сторон
треугольника.
С
Средняя линия треугольника параллельна
третьей стороне и равна её половине.

21.

12. Площадь треугольника.
А
c о₂ha
В
R
о₁
r
a
r- радиус вписанной окружности.
b
С
R- радиус oписанной окружности.
ha ; hb ; hc высоты
1
1
1
S aha bhb chc
2
2
2
1
1
1
S ab sin C bc sin A ac sin B
2
2
2
S p( p a)( p b)( p c) - формула Герона .
a b c
S rp, p
2
abc
S
4R
Вернуться

22.

13. Теорема синусов.
А
c
В
b
a
Стороны треугольника пропорциональны
синусам противолежащих углов с
коэффициентом пропорциональности,
равным диаметру описанной окружности.
С
a
b
c
2R
sin A sin B sin C
14. Теорема косинусов.
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух
других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус
угла между ними.
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
Вернуться

23.

15. Описанная окружность.
А
С₁
О
Около каждого треугольника можно
описать окружность и притом только одну.
В₁
R
В
А₁
Вернуться
С
Центром описанной окружности является
точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника .
R
a
b
c
abc
; R
2 sin A 2 sin B 2 sin C
4S
16. Вписанная окружность.
А
С₁
r
r
В
О В₁
r
А₁
С
r
В каждый треугольник можно вписать
окружность и притом только одну.
Центром вписанной окружности является
точка пересечения биссектрис треугольника.
( p a )( p b)( p c)
S
; р полупериметр
; r
p
p

24. Виды треугольников.

Вернуться
1.Прямоугольный.
2.Равнобедренный.
3.Равностороний (правильный).

25. Прямоугольный треугольник.

Вернуться
1.Определение и свойства.
2.Соотношения.
3.Вписанная и описанная окружности.
4.Площадь.

26.

b катет
17. Прямоугольный треугольник.
А
Треугольник называется прямоугольным,
С
если у него есть прямой угол.
тс
О
а катет
Теорема Пифагора.
Квадрат длины гипотенузы равен сумме
В квадратов длин катетов.
c2 a2 b2
Теорема, обратная теореме Пифагора.
Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов
двух других сторон, то этот треугольник прямоугольный.
Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника,
равна её половине: тс=с:2.
Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она
проведена, то этот треугольник прямоугольный, и эта сторона
является гипотенузой.
Центр описанной окружности около прямоугольного треугольника
совпадает с серединой гипотенузы.
Вернуться

27.

18. Тригонометрические функции острых углов в
прямоугольном треугольнике.
А
90
В
А
Н
bc
h
С
a
b
a
; cos A ; tgA
c
c
b
b
a
b
sin B ; cos B ; tgB
c
c
a
sin A
ac
а
В
19. Средние пропорциональные отрезки.
Катет прямоугольного треугольника является средним
пропорциональным отрезком гипотенузы и проекции этого
катета на гипотенузу.
b c bc ; a c ac
Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины
прямого угла является средним пропорциональным отрезком
проекций катетов на гипотенузу:
h ac bc
Вернуться

28.

20.Вписанная и описанная окружности.
А
Н
h О₂
r
С
r
R
r
AB c
R
2
2
О₁
R
а
R
a b c
r
2
В
21.Площадь.
S
1
ab
2
S
1
ch
2
Вернуться

29.

Вернуться
22.Равнобедренный треугольник.
А вершина Равнобедренным называется треугольник,
у которого две стороны равны.
С₁
В
Углы при основании равны.
Высота, проведённая из вершины, является
биссектрисой и медианой.
В₁
А₁
основание
С
Высоты (биссектрисы, медианы),
проведённые к боковым сторонам
равны .
23.Признаки равнобедренного треугольника.
1.Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.
2.Если в треугольнике высота является биссектрисой или медианой,
то этот треугольник равнобедренный.
3.Если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой,
то этот треугольник равнобедренный.
4.Если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой,
то этот треугольник равнобедренный.
5.Если в треугольнике 2 высоты (биссектрисы, медианы) равны,
то этот треугольник равнобедренный. .

30.

24.Равносторонний (правильный) треугольник.
А
Правильным (равносторонним) называется
треугольник, у которого все стороны равны.
С₁
О
В₁
25. Свойства.
1.Все углы равны 60˚.
В
А₁
С
2. Точки пересечения медиан, биссектрис,
высот, серединных перпендикуляров
совпадают. Эта точка называется центром
треугольника и является центром вписанной
и описанной окружностей.
3. Центр правильного треугольника делит его высоты в отношении
2:1, считая от вершины .
3
R
2r
;
h R 3r
4. Формулы. a R 3;
2
a2 3
5. Площадь. S
4
Вернуться

31. Параллелограммы.

Вернуться
1.Параллелограмм.
2.Ромб.
3. Прямоугольник.
4.Квадрат.

32. Параллелограмм.

Вернуться
1.Определение и свойства.
2.Признаки.
3.Свойства биссектрис и высот.
4. Метрические соотношения. Площадь.

33.

26. Определение.
Вернуться
В
С
О
А
D
Параллелограммом называется
четырёхугольник, у которого
противоположные стороны
попарно параллельны.
27. Свойства.
1.Противоположные углы равны.
2.Односторонние углы в сумме составляют 180˚.
3.Противоположные стороны равны.
4.Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся
пополам .
28. Признаки.
1.Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны
и параллельны, то этот четырёхугольник является
параллелограммом
2.Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно
равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом.
3.Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся
пополам, то этот четырёхугольник -параллелограмм.

34.

29. Свойства биссектрис и высот.
А₁
В
С
1.Биссектриса угла (АА₁)отсекает
от параллелограмма
М
равнобедренный треугольник
D ( АВ=ВА₁).
А
2.Биссектрисы односторонних углов перпендикулярны (АА₁ и ВМ), а
биссектрисы противоположных углов параллельны (ВМ и DК)
или лежат на одной прямой (в ромбе)
К
С
В
ha
А
а
hb
b
D
3. Высоты параллелограмма
обратно пропорциональны
соответственным сторонам:
а : b hb : ha
4.Высоты, опущенные из одной вершины, образуют угол, равный
углу при соседней вершине:
(ha ; hb ) A
Вернуться

35.

30. Периметр. Площадь.
а
В
b
а
А
а
d1
b
а
31. Соотношения.
С
d2
b
Р 2а 2b
S aha bhb
b
D
В
А
С
hb
ha
Вернуться
1
S ab sin
2
1
S d1d 2 sin
2
D
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме
2
2
квадратов четырёх его сторон:
d d 2a 2 2b 2
1
2

36.

32. Ромб.
Ромбом называется параллелограмм,
С у которого все стороны равны.
1.Диагонали ромба перпендикулярны
и делят углы его пополам.
В
О
h
А
r
2.Высоты ромба равны.
r
D
3. В ромб можно вписать окружность с центром в точке
пересечения диагоналей и радиусом, равным половине высоты.
4. Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма.
33. Признаки ромба.
5.Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то
это ромб.
6.Если в параллелограмме диагонали делят углы пополам,
то это ромб.
7.Если в четырёхугольнике все стороны равны, то это ромб.
34. Площадь ромба. S ah a 2 sin A
1
d1d 2
2
Вернуться

37.

Прямоугольником называется
параллелограмм, у которого все
углы прямые.
35. Прямоугольник.
В
С
R
b
А
О d
а
D
1.Диагонали прямоугольника равны.
2.Около прямоугольника можно
описать окружность с центром в
точке пересечения диагоналей и
радиусом, равным половине
диагонали.
3. Прямоугольник обладает всеми
свойствами параллелограмма.
36. Признаки прямоугольника.
1. Если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоугольник.
2. Если в параллелограмме один угол прямой, то это прямоугольник.
3. Если в четырёхугольнике есть три прямых угла, то это
прямоугольник.
37. Периметр и площадь прямоугольника.
1 2
S ab d sin
2
Вернуться

38.

38. Квадрат.
а
В
С
а
а
Квадратом называется прямоугольник,
у которого все стороны равны.
Квадратом называется ромб,
у которого все углы прямые.
D
Квадрат обладает всеми свойствами
ромба, прямоугольника и
параллелограмма.
А
d
45˚
а
Квадрат является правильным четырёхугольником.
1
d a 2; r a
2
1
a 2
R d
2
2
1 2
2
S a d
2
d-диагональ,
R-радиус описанной окружности
r- радиус вписанной окружности
a- сторона
Вернуться

39. Трапеции.

Вернуться
1.Трапеция.
2.Свойства трапеции.
3. Вписанная окружность.
4.Равнобедренная и прямоугольная трапеции.

40.

39. Трапеция.
а
В
С
N
M
А
Н
b
МN – средняя линия.
Трапецией называется четырёхугольник,
две стороны которого параллельны, а
две другие нет.
D
BC и AD - верхнее и нижнее основания.
АB и СD –боковые стороны.
АС и ВD –диагонали.
MN || AD || BC ,
1
MN ( ВС АD)
2
ВН – высота трапеции, расстояние между основаниями.
Площадь трапеции:
S h MN
1
1
h( ВС АD) AC BD sin ( AC; BD )
2
2
Вернуться

41.

40. Свойства трапеции.
1.Середины оснований , точка
пересечения диагоналей и точка
пересечения продолжений боковых
сторон трапеции лежат на одной
прямой.
2. Треугольники , образованные
основаниями трапеции и
отрезками диагоналей, подобны.
М
В
аL
С
P
О
А
bT
Q
D
ВОС
~ АОD
3. Треугольники , образованные боковыми сторонами и
отрезками диагоналей, равновелики.
S AOB SCOD
4. Отрезок , параллельный основаниям, проходящий через
точку пересечения диагоналей, делится ею пополам и
OQ OP
ab
2ab
; PQ
a b
a b
Вернуться

42.

41. Вписанная окружность.
В трапецию можно вписать окружность тогда и только
тогда, когда сумма оснований равна сумме боковых сторон.
В
BC+AD=AB+CD.
С
r
r
Центром вписанной окружности
является точка пересечения
биссектрис углов трапеции и радиус
этой окружности
r
О
r
А
D
r
Вернуться
1
h
2

43.

42. Равнобедренная трапеция.
В
С
R
А
R
В
А
О
С
В₁
С₁
Вернуться
Равнобедренной называется трапеция,
у которой боковые стороны равны.
1.Углы, прилежащие к одному основанию,
равны.
2.Диагонали, равнобедренной трапеции
D равны.
3.Около равнобедренной трапеции
можно описать окружность, центр
которой, является точкой пересечения
серединных перпендикуляров сторон.
4. Высоты трапеции, проведённые из
вершин верхнего основания, отсекают
D от неё равные прямоугольные
треугольники.
Прямоугольной называется трапеция,
у которой одна боковая сторона
перпендикулярна основанию.

44. Окружность.

Вернуться
1.Отрезки и дуги.
3. Углы в окружности.
2.Прямая и окружность.
4.Две окружности.
5.Вписанная окружность.
6.Описанная окружность.
7.Общие касательные двух окружностей.
8. Круг и его части.

45. Отрезки и дуги.

Вернуться
1.Отрезки и дуги.
2.Свойства отрезков и дуг.

46.

43. Отрезки и дуги.
N
Q
Вернуться
Окружностью называется множество
точек плоскости, находящихся на
одинаковом расстоянии от данной точки О
P
О
В (центра окружности).
А
Радиусом называется отрезок (ОМ),
соединяющий точку окружности с
центром.
М
Хордой называется отрезок, соединяющий две точки окружности
(PQ и AB).
Диаметром называется хорда, проходящая через центр (АВ).
Дугой называется часть окружности, заключённая между двумя
её точками.
Две точки на окружности образуют на ней две дуги: PNQ и PMQ
Любую из них стягивает хорда PQ .
Длина окружности С=2πR.
Длина дуги окружности l=πRα/180. α-градусная мера дуги
l=Rα, α- радианная мера дуги.

47.

44. Свойства отрезков и дуг.
N
Q
Т
P
Диаметр делит хорду, не являющуюся
диаметром, пополам тогда и только тогда,
когда он перпендикулярен к этой хорде.
О
М
Q
N
Если две хорды окружности пересекаются, то
произведение отрезков одной хорды равно
произведению отрезков другой хорды:
MT·TN=PT·TQ
Т
P
О
М
Вернуться

48. Прямая и окружность.

Вернуться
1.Прямая и окружность.
2. Окружность и две прямые.

49.

P
44. Прямая и окружность.
Q
ОМ- расстояние от центра окружности
М
до прямой.
О
Если ОМ<R, то окружность и прямая имеют
М две общие точки: P и Q. И прямая называется
секущей окружности.
Если ОМ=R, то окружность и прямая имеют
одну общую точку: М. И прямая называется
касательной к окружности, а точка М –
М
точкой касания.
Если ОМ>R, то окружность и прямая не имеют общих точек,
не пересекаются.
45. Признак касательной.
Прямая является касательной к окружности, тогда и только
тогда, когда радиус, проведённый в их общую точку,
перпендикулярен прямой
Вернуться

50.

46. Две прямые и окружность.
P
М
О
Q
Вернуться
Если окружность касается сторон угла, то:
1)центр окружности лежит на биссектрисе
этого угла; МО-биссектриса,
2)отрезки касательных, заключённых между
вершиной угла и точками касания, равны;
МР=МQ
47. Касательные и секущие из одной точки.
T
О
C
A Если из точки вне окружности к ней проведены
B X касательная и секущая, то квадрат длины
отрезка касательной равен произведению всего
отрезка секущей на его внешнюю часть:
АТ²=АВ·АС=АХ·АУ.
Y
Произведения длин отрезков секущих,
проведённых из одной точки, равны.

51.

48.Цнтральный угол.
А
К
P
О
α˚
В
М
Вернуться
Если вершина угла находится в центре
окружности, а стороны его пересекают
окружность, то этот угол называется
центральным (ВОС).
Градусная мера дуги (ВС), заключённой внутри
центрального угла, равна градусной мере
этого центрального угла.
С
α˚
49.Вписанный угол.
Если вершина угла находится на окружности, а стороны его
пересекают окружность, то этот угол называется
вписанным в окружность (ВАС).
Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, заключённой
внутри его (на которую он опирается).
Вписанный угол (РКМ), опирающийся на полуокружность Далее
(диаметр) равен 90˚ (прямой).

52.

50.Свойства вписанных углов.
К
В₁
А
С₁
Т
В
D
М
Вернуться
Вписанные углы, опирающиеся на одну и
ту же дугу равны.
Вписанные углы, опирающиеся на одну и
ту же хорду или равны (ВАС и ВМС), или
их сумма равна 180˚ (ВРС и ВМС).
С
51.Другие углы.
Р
Градусная мера угла (ВКС), стороны которого пересекают
окружность, а вершина находится вне её, равна полу разности
градусных мер дуг, заключённых внутри этого угла (В₁С₁ и ВРС).
Градусная мера угла (СAD), между хордой и касательной равна
половине дуги, заключённой внутри этого угла (дуги АМС).
Градусная мера угла (ВТС), вершина которого лежит внутри
окружности , а стороны пересекают её равна полу сумме
градусных мер дуг, заключённых внутри этого угла и внутри
вертикального ему угла (дуг ВРС и С₁АМ).

53.

52. Две окружности.
Вернуться
R₁и R₂-радиусы окружностей, d- расстояние между их центрами.
d
О₁
R₁
О₂
R₂
Нет общих
точек.
О₁
d
R₁+R₂< d
О₁
d
R₁
R₂
R₁-R₂>d
О₂
R₁+R₂=d
А
О₁ d О₂
M N
О₂
d
О₁
Касаются
О₂
R₁-R₂=d
А
Пересекаются
В
MN=R₂-R₁+d
О₁
d
M
N
О₂
В
MN=R₂+R₁-d

54.

53. Описанная окружность.
А
С₁
В
О
А₁
D
Около каждого треугольника можно
описать окружность и притом только одну.
В₁
С
А
Вернуться
a
b
c
abc
R
; R
2 sin A 2 sin B 2 sin C
4S
Около четырёхугольника можно описать
окружность тогда и только тогда, когда
суммы противоположных углов этого
четырёхугольника равны 180˚.
А C B D 180
О
С
В Около прямоугольника (квадрата)всегда
можно описать окружность, центр которой
лежит в точке пересечения его диагоналей.
Центром описанной окружности является
точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

55.

54. Вписанная окружность.
А
С₁
r
r
О В₁
r
В каждый треугольник можно вписать
окружность и притом только одну.
r
С
А₁
В
r
В
А₁
А
В₁
О
D₁
Вернуться
S
;
p
( p a )( p b)( p c)
; р полупериметр
p
С
В четырёхугольник можно вписать
окружность тогда и только тогда, когда
суммы противоположных сторон этого
С₁ четырёхугольника равны.
D
АВ+CD=DC+AD.
Центром вписанной окружности является
точка пересечения биссектрис многоугольника.

56.

55.Общие касательные двух окружностей.
две внутренние касательные
О₁
S
О₂
одна внутренняя касательная
О₁
О₂
Если одна окружность лежит
вне другой, то у них 4 общих
касательных.
d=O₁O₂>R₁+R₂
R2
R1
SO1
d SO2
d
R1 R2
R1 R2
Если две окружности касаются
внешним образом, то у них
3 общих касательных.
d=O₁O₂=R₁+R₂
Вернуться
Далее

57.

Вернуться
M
О₁ О₂
d
О₁
О₂
О₁
О₂
Если две окружности
касаются внутренним
образом, то у них одна
общая касательная.
Если две окружности
пересекаются, то у них есть
две общие касательные.
Если одна окружность
лежит внутри другой,
то общих касательных нет.

58.

56. Круг и его части.
Вернуться
1
RC
4
2
С - длина окружности,
D=2R - диаметр
S R 2
О
D2
R 2 α –градусная мера
S
360
О
дуги сектора
т
В
А
S сегм. АтВ S сект . АтВ S АОВ
S сегм. АпВ S сект . АпВ S АОВ
О
п

59. Площади.

Вернуться
1.Площадь треугольника.
2.Отношения площадей.
3.Площадь четырёхугольника.
4.Площадь круга и его частей.
5.Площади правильных многоугольников.

60.

57.Площадь треугольника.
Вернуться
В
1
1
1
S aha bhb chc Далее
2
2
2
h
а
1
1
1
c
S ab sin C bc sin A ac sin B
h
2
2
2
С
h
S rp r - радиус вписанной
b
окружности,
А
р - полупериметр
abc R - радиус oписанной окружности
S
4R
b
c
a
S
p( p a)( p b)( p c) , р полупериметр.

61.

58. Площадь прямоугольного треугольника.
В
c
h
1
1
S ab ch
2
2
ab
h
c
а
С
А
b
59. Площадь правильного треугольника.
В
а
60˚
А
а
а2 3
S
4
а
С
Вернуться

62.

60.Подобные треугольники.
В
М
А
АВС ~ МВN
2
2
2
S MBN MN AB BC
2
k
MB BN
N S ABC AC
Отношение площадей подобных
треугольников равно квадрату
коэффициента подобия
С
61. Треугольники с равными высотами.
В
S
MN
MBN
S ABC
AC
Отношение площадей треугольников
h
с равными высотами
(общей высотой) равно отношению
А
С
М
N сторон, соответственных этим
высотам
Далее
Вернуться

63.

62.Треугольники с равными сторонами.
S АЕС ЕЕ1
В
S ABC
А
Е₁
В₁
Вернуться
ВВ1
Отношение площадей
треугольников с равными
сторонами ( с общей стороной)
равно отношению высот,
проведённых к этим сторонам.
С
Е
63.Треугольники с равными углами.
В
S АMN
AM AN
М
S
AB AC
ABC
А
С
N
Отношение площадей треугольников
с равными углами( с общим углом )
равно отношению произведений
сторон, заключающих эти углы.

64.

64.Площадь прямоугольника.
В
d₁
А
d₂ O
С
α
a
D
Вернуться
1
S ab d1d 2 sin
2
b
65.Площадь параллелограмма.
В
С
d₂
1
b h
S
ah
ab
sin
A
d
d
sin
α
1
2
d₁
2
А
D
a
66.Площадь ромба.
В
С
1
2
S ah a sin A d1d 2 rp 2ra
d₁
a h
2
r - радиус вписанной окружности,
d₂
Далее
р – полупериметр ромба.
А
D
a

65.

67. Площадь квадрата.
В
С
d
a
Вернуться
d
1 2
S a d
2
2
Далее
А
D
a
68. Площадь трапеции.
a
В
С
d₂
a b
1
α N S
h MN h d1d 2 sin
M
h
2
2
d₁
А
D
b
69. Соотношения площадей в трапеции .
a
2
В
С
S1 a
S₁
S2 b
O
b
a
S₂
S AOB SCOD S1 S 2 S1 S 2
А
D
a
b
b

66.

70. Площадь произвольного четырёхугольника.
В
С
d₂
1
S d1d 2 sin
2
α
d₁
D
А
71. Площадь ромбоида. Ромбоидом называется
четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны
В
А
d₂
d₁
D
С
1
S d1d 2
2
Вернуться

67.

72. Круг и его части.
Вернуться
1
RC
4
2
С - длина окружности,
D=2R - диаметр
S R 2
О
D2
R 2 α –градусная мера
S
360
О
дуги сектора
т
В
А
S сегм. АтВ S сект . АтВ S АОВ
S сегм. АпВ S сект . АпВ S АОВ
О
п

68.

73. Площадь правильного п-угольника через радиус
вписанной окружности.
А₂
Аn
a
r
А₄
О
Аk+1
А₃
R
Аk
...
А₁
1
S rP
2
пr
S
tg
2
n
2
r - радиус вписанной
окружности,
Далее
P – периметр.
Вернуться

69.

74. Площадь правильного п-угольника через радиус
oписанной окружности.
пR 2
2
S
sin
2
n
А₂
Аn
a
r
А₄
О
Аk+1
А₃
R
Аk
...
А₁
2
3 3R
S6
2
S8 2 R 2 2
S12 3R
R - радиус oписанной
окружности.
2
Вернуться

70.

75. Правильный п-угольник.
Правильным называется
п-угольник, стороны и углы
А₁
А₂
которого равны .
Аn
А₃
a
В правильный п-угольник
r
О
Аk+1
R
...
А₄
Аk
R - радиус oписанной
окружности, r-радиус
вписанной окружности,
а-сторона.
можно вписать и около
него можно описать
окружность с центром в
точке пересечения
биссектрис его углов.
180
а 2 R sin
n
180
r R cos
n
Далее
Вернуться

71.

76. Частные случаи правильных п-угольников.
О
R
r
r
О
R
a
О
R
a
r
a
60
90
120
а R 3
а R 2
R 2r
a2 3
S
4
a 2r
а R
R 3
r
2
3R 2 3
S
2
S a 2 2R 2
Вернуться

72.

Закрыть