Аэрогазодинамика. Пограничный слой. Аэродинамический нагрев (лекции 14, 15)

1. Пограничный слой. Аэродинамический нагрев

Аэрогазодинамика
Пограничный слой.
Аэродинамический нагрев
Лекции 14, 15

2.

Сопротивление удобообтекаемых тел при их движении
в жидкостях или газах является в значительной
степени сопротивлением от трения среды о
поверхность тела. Поэтому весьма важно знать законы
трения в жидкостях и газах и уметь рассчитывать
сопротивление трения.
Силы трения жидкости проявляются не во всей среде,
а лишь в слое, прилегающем к поверхности движущегося тела, где скорость течения
резко изменяется по нормали к
поверхности, и в следе
за телом
2

3.

Задача об обтекании тела потоком вязкой жидкости
решается интегрированием дифференциальных
уравнений движения с учетом внутреннего трения –
уравнений Навье-Стокса.
В общем случае, когда коэффициент вязкости
зависит от температуры, уравнения движения в
проекции на оси пространственной декартовой
системы координат имеют вид
Vx
p Vx 2
Vx Vy Vx Vz
X 2 divV ,
t
x x x 3
y y x z z x
Vy
Vy Vz Vy Vx
p Vy 2
Y 2 divV ,
t
y y y 3
z z y x x y
Vz
Vz 2
Vz Vx Vz Vy
Z 2 divV .
t
z z z 3
x x z y y z
3

4.

При const уравнения Навье-Стокса имеют вид
dVx
1 p
X
divV Vx
dt
x 3 x
и т.д.
Точное решение задачи обтекания какого-либо тела
сводится к интегрированию дифференциальных
уравнений при заданных граничных условиях и
практически невозможно. Для получения частных
решений какого-либо определенного класса задач
прибегают к упрощению этих уравнений.
При изучении обтекания тел при больших числах
Рейнольдса, характерных для авиационной и
ракетной техники, применяют метод упрощения
уравнений Навье–Стокса, основанный на понятии
пограничного слоя
4

5. 14.1.Толщина пограничного слоя

Течение жидкости в пограничном слое может быть
ламинарным или турбулентным. При ламинарном
течении наблюдается упорядоченное движение
жидкости параллельными слоями (слоистое течение)
без их перемешивания. Турбулентное течение
сопровождается беспорядочным движением частиц
(не молекул) жидкости, приводящим к поперечному
перемешиванию вязкой среды и к пульсации
параметров течения.
Формула Ньютона для силы внутреннего трения при
V
ламинарном течении
показывает, что внутри
n
пограничного слоя и в следе за телом, где градиенты
скорости значительны, силой внутреннего трения
пренебрегать нельзя, и среду, движущуюся внутри
этих областей, следует считать вязкой даже при
малых значениях коэффициента вязкости.
5

6.

Во внешнем потоке вне пограничного слоя скорость
при удалении от поверхности тела изменяется
чрезвычайно медленно. Влияние вязкости здесь
пренебрежимо мало, и можно считать, что движение
подчиняется законам течения идеальной невязкой
жидкости. Изучать движение среды в этой области
можно с помощью уравнений Эйлера.
Толщина пограничного слоя величина достаточно
условная.
Обычно за толщину пограничного слоя в данной
точке поверхности принимают расстояние от тела до
такой точки, в которой действительная скорость
потока отличается от скорости в потенциальном
Vx
течении на 1 %:
0,99
U y
6

7. 14.2. Толщина вытеснения

Секундные расходы жидкости через сечение
пограничного слоя высотой для потоков невязкого и
вязкого газов различны:
невязкий
вязкий
Vx
Udy
V
dy
U
V
dy
U
x
0
0 x 0
0 1 U dy
Толщина вытеснения характеризует
Схема к определению
уменьшение секундного расхода газа
толщины вытеснения
при =const
через сечение пограничного слоя
вследствие торможения потока в пограничном слое
V
V
U U 1 x x dy
dy
U
U
0
V
1 x dy
U
0
сжимаемая жидкость
несжимаемая жидкость
*
*
*
7

8.

Толщина вытеснения характеризует искривление линий
тока вследствие торможения потока в пограничном
слое.
Известно, что расход жидкости
в трубке тока одинаков во всех
сечениях. Отсюда
y
U AB Vx dy ( y BC ) U
0
ВС– смещение линии тока
Vx
*
BC 1
dy
вязкого потока по отношению
U
0
к линии тока невязкого потока.
Т.е. толщина вытеснения – это толщина, на которую
отодвигаются от тела линии тока в вязком газе по
отношению к линиям тока в невязком газе.
8

9. 14.3.Толщина потери импульса

Вследствие торможения потока в пограничном слое
происходит не только уменьшение расхода по
сравнению с невязким газом, но и уменьшение
количества движения, проносимого жидкостью
через
сечение пограничного слоя, равное Vx (U Vx )dy .
Толщина потери импульса **– условная толщина
некоторого слоя, сквозь сечение которого в единицу
времени с постоянной скоростью переносится
количество движения, равное
2 **
указанному уменьшению импульса U Vx U Vx dy
0
Vx Vx
1 dy
U U
0
**
сжимаемая жидкость
Vx Vx
1 dy
U U
0
**
несжимаемая жидкость
0
* **
9

10. 14.4.Дифференциальные уравнения пограничного слоя в несжимаемой жидкости

Для области тонкого пограничного
слоя, в котором собственно и проявляются силы трения, Л.Прандтль
предложил метод упрощения уравнений движения, основанный на
сравнении порядка величины членов уравнения и
отбрасывания членов высшего порядка малости.
2Vx 2Vx
Vx
Vx
1 p
Vx
Vy
2 2
x
y
x
y
x
2Vy 2Vy
1 p
Vx
Vy
2 2
x
x
y
x
y
Vy
Vy
Уравнения Навье-Стокса
Vx Vy
0
x
y
Уравнение неразрывности
10

11.

Эта система уравнений полностью описывает движение
вязкой жидкости в пределах пограничного слоя в рамках
настоящей задачи.
Оценим порядок входящих в эти уравнения членов,
имея в виду, что 0 y , т. е. y имеет порядок толщины
пограничного слоя (y ) и является малой величиной
по сравнению с характерным размером обтекаемой
поверхности, например, его длиной l ( / l 0). Скорость
в пределах пограничного слоя 0 Vx V ( Vx V ), продольная координата 0 x l , т. е. x l.
Тогда приращение скорости Vx Vx имеет порядок
величины скорости во внешнем потоке V .
Установив порядок производных входящих в первое из
уравнений Навье-Стокса, произведя упрощения получим
11

12.

Vx
Vx
1 p
2Vx
Vx
Vy
2
x
y
x
y
Внутри пограничного слоя силы вязкости и инерции
имеют одинаковый порядок, т. е. их отношение должно
быть равным единице. V 2 V
: 2 1, следовательно
Их отношение равно
l
V 2 2 Vl 2
Re
1,
l V l 2
l
2
~
l
1
Re
Проведя подобный анализ членов второго уравнения,
приходим к аналогичной упрощенной записи
Vy
Vy
2Vy
1 p
Vx
Vy
2
x
y
y
y
Инерционные и вязкие члены этого уравнения относят-
ся к соответствующим членам первого уравнения как
/ l 0. Очевидно, что в данной задаче вклад второго
уравнения не превышает указанного отношения.
12

13.

Поэтому инерционными и вязкими членами второго
уравнения можно пренебречь и в задаче исследования
течения в пограничном слое вообще не учитывать.
Тогда из второго уравнения системы с достаточной
p
точностью можно записать следующее
0
y
давление внутри пограничного слоя
не меняется вдоль нормали к контуру тела и равно
давлению на внешней границе пограничного слоя
dp
p
p
0
Так как
, то p p( x) и
=
. Система диффеdx
x
y
ренциальных уравнений
Vx
Vx
1 dp
2Vx
Vx
Vy
2 ,
для пограничного слоя
x
y
dx
y
примет вид
V V
x
x
y
y
0.
13

14. 14.5.Интегральное соотношение пограничного слоя

Рассмотрим установившийся плоский
пограничный слой. Выделим в пограничном слое малый объем АВСD.
Применим к данному объему теорему
об изменении количества движения. Вычислим изменение количества движения в направлении оси ОХ за
промежуток времени dt.
d 2
d
Vx dy U Vx dy dxdt
dx 0
dx 0
Приравняем его суммарному импульсу от сил давления
и трения, действующих на грани выделенного объема.
d p
dx
От сил давления: p , pd и p
dx
14

15.

dp
dxdt
Суммарный импульс сил давления
dx
Импульс от силы трения 0 dx 1 dt.
Изменение количества движения жидкости в объеме
= суммарному импульсу от сил давления и трения
d
d
dp
2
Получаем
V
dy
U
V
dy
0
x
x
dx 0
dx 0
dx
интегральное соотношение пограничного слоя
Пригодно для изучения ламинарного и турбулентного
пограничных слоев, но необходимы два дополнительных уравнения:
1. Закон распределения скорости по поперечному
сечению пограничного слоя (можно задать
приближенно аппроксимирующей функцией).
2. Зависимость напряжения трения от изменения
скорости по нормали к поверхности (например,
формула Ньютона для ламинарного п.с.)
15

16. 15.1. Расчет пограничного слоя на плоской поверхности в несжимаемой среде

Задача расчета пограничного слоя в несжимаемой
среде сводится к определению закона изменения
толщины пограничного слоя, т. е. x , и силы
сопротивления трения X тр при условии, что известны
скорость V , величина коэффициента кинематической
вязкости и хорда пластинки b.
Для плоской пластинки скорость потенциального течения U V , градиdp
0
ент давления вдоль пластинки
dx
Тогда интегральное соотношение
примет вид
d
d
2
dx 0
Vx dy V
dx 0
Vx dy 0
16

17. 15.2.Ламинарный пограничный слой

Закон распределения скорости по толщине ПС
2
Vx
y y
y
a b c d
V
3
Коэффициенты полинома - из граничных условий:
Кинематические: Vx y 0 0 и Vx y V
2Vx
2Vx
1 dp
dp
0, То 2 0
Динамические: 1) 2
, т.к.
dx
y y 0 dx
y y
Vx
2) при y
y
0 и
Vx
y 0
y
Тогда из закона распределения скорости получаем:
3
1
a с 0, b , d . Т.е.
2
2
Vx 1 y y 3
3 3
V 2
17

18.

Выражение для 0 получим из закона Ньютона для
внутреннего трения при ламинарном течении. Т.к.
3 V
Vx 3 V
y2
,то
1
0
2
y
2
2
Интегралы, входящие в интегральное соотношение
V y y 3
5
V
dy
3
dy
V
0 x
2 0 3
8
2
V y y 3
17
2
2
V
dy
3
dy
V
.
3
0 x
4 0
35
Теперь интегральное соотношение преобразуется в
обыкновенное дифференциальное уравнение
17
d 5 2 d
3 V
V 2
V
35
dx 8
dx
2
Группируя подобные члены и разделяя переменные
интегрируем
13
2
280
V x C
18

19.

Из условий на передней кромке х = = 0 и С = 0;
после преобразований
4,64 x
280 x
x
13 V
4,64
V
0
Местный коэффициент трения c f
V 2 2
Re x
0,65
cf
Re x
Коэффициента сопротивления трения
b
1,3
1
cx тр
cx тр c f dx
Re
b0
В качестве характерного линейного размера в числе
Рейнольдса используется хорда пластинки b
19

20. 15.3.Турбулентный пограничный слой

Ламинарное течение в пограничном слое плоской
пластины возможно лишь в случае, если число
Рейнольдса не превышает некоторого значения,
называемого критическим.
Для числа Рейнольдса, в котором за характерную
длину принято расстояние x от входной кромки
пластины, критическое число Re x = 9 104...1,1 106.
При превышении критического
числа Рейнольдса происходит
турбулизация течения.
Законы турбулентного течения
наиболее полно изучены для
движения жидкости в круглых трубах
20

21.

Допустим, что в пограничном слое профиль Vx y 1 7
V
скорости такой же, как и в круглой трубе
14
Воспользуемся зависимостью
2
0,225
V
касательных напряжений на стенке, 0
V
полученной для труб
Интегралы, входящие в интегральное соотношение
7
V
dy
0 x 8 V
7
2
V
dy
V 2
0 x
9
14
7
2 d
2
V
0,225
V
Интегральное соотношение
12
dx
V
Толщина турбулентного пограничного слоя
Местный коэффициент трения
cf
0,057 8
5 Re
x
Коэффициент сопротивления трения (/)
0,37 x
5 Re
x
0,072
cx тр 5
Re
21

22.

Как показывают экспериментальные данные, более
точное значение числителя в формуле (/) равно 0,074.
Незначительное отличие величины множителя
свидетельствует в пользу принятого допущения о
совпадении законов турбулентного течения в трубах и
в пограничном слое пластинки
Характеристики
Ламинарный
ПС
Толщина пограничного слоя
~x
0,5
Турбулентный
ПС
~x
0,8
Толщина вытеснения *
3
8
1
8
Толщина потери импульса **
39
280
7
72
22