Системный анализ в условиях поведенческой неопределенности.
Ситуация равновесия в биматричных играх
Пример: Конфликтная ситуация задана биматрицей:
Вариант 1. Оба игрока применяют свои максиминные смешанные стратегии.
Вариант 1. Оба игрока применяют свои максиминные смешанные стратегии.
Вариант 2. Оба игрока применяют свои равновесные смешанные стратегии.
Вариант 2. Оба игрока применяют свои равновесные смешанные стратегии.
Вариант 3. Один игрок применяет максиминную смешанную стратегию, а другой  равновесную смещанную.
Вариант 3. Один игрок применяет максиминную смешанную стратегию, а другой  равновесную смешанную.
Результаты расчетов
Задание на самостоятельное выполнение: Конфликтная ситуация задана биматрицей:
258.00K
Category: mathematicsmathematics

Системный анализ в условиях поведенческой неопределенности

1. Системный анализ в условиях поведенческой неопределенности.

1. Теория игр.
2. Ситуация равновесия в биматричной игре.
3. Смешанные стратегии игроков.

2.

Биматричная игра конечная бескоалиционная
игра двух лиц, которая задается двумя матрицами
A a
ij
B b
ij
одинакового размера m n , являющимися
выигрышами соответственно игроков 1 и 2.
Стратегией игрока 1 является выбор строки матриц,
стратегией игрока 2 выбор столбца.
Если игрок 1 выбирает i-ую строку (1 ≤ i ≤ m), а
игрок 2 выбирает j-ый столбец (1 ≤ j ≤ n), то они
получают соответственно выигрыши aij и bij.
Если aij + bij = 0 для всех i,j, то биматричная игра
является матричной игрой.

3. Ситуация равновесия в биматричных играх

Ситуация (i*; j*) называется равновесной, если
выполняются следующие условия:
ai j ai j
bi j bi j
*
*
*
*
i 1,2
*
*
j 1,2
В равновесной ситуации игроки добиваются наибольших
выигрышей стратегиями i = i*, j = j*. Их называют
равновесными стратегиями, а соответствующие элементы
матриц выигрышей равновесными выигрышами
игроков.

4. Пример: Конфликтная ситуация задана биматрицей:

4,2 (1,6)
(0,3)
(3,1)
Необходимо проанализировать каким стратегиям
целесообразно придерживаться игрокам.

5. Вариант 1. Оба игрока применяют свои максиминные смешанные стратегии.

Максиминная смешанная стратегия первого игрока
определяется путем решения уравнения:
a11 p a21 1 p a12 p a22 1 p
4 p 0 1 p 1 p 3 1 p
Откуда p*=0,5, выигрыш первого игрока равен:
М 1 4 0,5 2
*

6. Вариант 1. Оба игрока применяют свои максиминные смешанные стратегии.

Максиминная смешанная стратегия второго игрока
определяется путем решения уравнения:
b11 q b12 1 q b21 q b22 1 q
2 q 6 1 q 3 q 1 1 q
Откуда q*=5/6, выигрыш второго игрока равен:
5
1
М 2 2 6 2,667
6
6
*

7. Вариант 2. Оба игрока применяют свои равновесные смешанные стратегии.

Первый игрок должен выбрать такую стратегию,
чтобы при любой выбранной стратегии второй игрок
получил одинаковый выигрыш. Для этого должно
выполняться условие:
b11 p b21 1 p b12 p b22 1 p
2 p 3 1 p 6 p 1 1 p
Откуда p0=1/3, выигрыш второго игрока равен:
1
2
М 2 2 3 2,667
3
3
0

8. Вариант 2. Оба игрока применяют свои равновесные смешанные стратегии.

Второй игрок должен выбрать такую стратегию, чтобы
при любой выбранной стратегии первый игрок
получил одинаковый выигрыш. Для этого должно
выполняться условие:
a11 q a12 1 q a21 q a22 1 q
4 q 1 1 q 0 q 3 1 q
Откуда q0=1/3, выигрыш первого игрока равен:
1
2
М 1 4 1 2
3
3
0

9. Вариант 3. Один игрок применяет максиминную смешанную стратегию, а другой  равновесную смещанную.

Вариант 3. Один игрок применяет максиминную
смешанную стратегию, а другой равновесную
смещанную.
Если первый игрок применяет свою равновесную
стратегию, а второй игрок свою максиминную, то
выигрыши игроков определяются следующим образом:
0
*
0
0 , *
1 0 *
1 *
1 0 1 *
M 1 p q a11 p q a21 p q a12 p q a22 p q
0
*
0
0 , *
1 0 *
1 *
1 0 1 *
M 2 p q b11 p q b21 p q b12 p q b22 p q
0 , * 4 1 5 0 2 5 1 1 1 3 2 1 1,5
M 1 p q 3 6 3 6 3 6 3 6
0 , * 2 1 5 3 2 5 6 1 1 1 2 1 2,667
M 2 p q 3 6 3 6 3 6 3 6

10. Вариант 3. Один игрок применяет максиминную смешанную стратегию, а другой  равновесную смешанную.

Вариант 3. Один игрок применяет максиминную
смешанную стратегию, а другой равновесную
смешанную.
Если первый игрок применяет свою максиминную
стратегию, а второй игрок свою равновесную, то
выигрыши игроков определяются следующим образом:
*
0
*
0
*
0
*
0
* , 0
M 1 p q a11 p q a21 1 p q a12 p 1 q a22 1 p 1 q
*
0
*
* , 0
1 * 0
1 0
1 * 1 0
M 2 p q b11 p q b21 p q b12 p q b22 p q
* , 0 4 1 1 0 1 1 1 1 2 3 1 2 2
M 1 p q 2 3 2 3 2 3 2 3
* , 0 2 1 1 3 1 1 6 1 2 1 1 2 3,167
M 2 p q 2 3 2 3 2 3 2 3

11. Результаты расчетов

Стратегия
первого игрока
Максиминная
смешанная
Равновесная
смешанная
Стратегия второго игрока
Максиминная
Равновесная
смешанная
смешанная
(2; 2,667)
(2; 3,167)
(1,5; 2,667)
(2; 2,667)
Ответ: Первому игроку целесообразно придерживаться
максиминной смешанной стратегии, второму –
равновесной смешанной стратегии.

12. Задание на самостоятельное выполнение: Конфликтная ситуация задана биматрицей:

(5; 3)
(2; 5)
(1; 6)
(3; 2)
Необходимо проанализировать каким стратегиям
целесообразно придерживаться игрокам.
English     Русский Rules