Размерное квантование

1.

Размерное квантование
y
Электроны проводимости в тонкой металлической
(полупроводниковой) пленке
Гамильтониан для огибающей
z
x
Hˆ E pˆ U ( z )
U1 , z 0
U ( z ) 0, 0 z a
U , z a
2
U1 и U2 – работы выхода из металла в подложку и вакуум
Электроны находятся вблизи дна зоны проводимости => пренебрегаем
проникновением электронов в подложку и вакуум и используем приближение
эффективной массы
2
ˆ
p
Hˆ
U ( z)
2m
, z 0
U ( z ) 0, 0 z a
, z a

2.

Размерное квантование
y
2
2
2
ˆ
p
ˆ
ˆ
p
p
y
Hˆ x
z U ( z)
2m 2m 2m
, z 0
z
U ( z ) 0, 0 z a
, z a
x
Hˆ , pˆ Hˆ pˆ pˆ Hˆ 0 Можно построить базис из стационарных
состояний с определенными значениями
ˆ
ˆ
ˆ
H , pˆ Hpˆ pˆ H 0 проекций импульса p и p
x
x
x
y
y
y
pˆ x ( x, y, z ) p x ( x, y, z )
pˆ y ( x, y, z ) p y ( x, y, z )
ˆ
H ( x, y, z ) E ( x, y, z )
x
y

3.

pˆ x ( x, y, z ) p x ( x, y, z )
pˆ y ( x, y, z ) p y ( x, y, z )
ˆ
H ( x, y, z ) E ( x, y, z )
p
pˆ x ( x, y, z ) p x ( x, y, z ) ( x, y, z ) C ( y, z ) exp i x x pˆ y ( x, y, z ) p y ( x, y, z )
py
pˆ y C ( y, z ) p y C ( y, z ) C ( y, z ) z exp i
y
py
p
( x, y, z ) exp i
y exp i x x z Hˆ ( x, y, z ) E ( x, y, z )
2
pˆ x2 pˆ y2 pˆ z2
p
ˆ
p
p
y
Hˆ ( x, y, z )
U ( z ) ( x, y, z ) exp i
y z x exp i x x
2m
2m 2m 2m
2
pˆ y2
py
py
px
p x pˆ z
exp i
y z
exp i
x exp i
y exp i
x
z
2m
2m
py
py
p x2
px
px
exp i
y exp i
x U ( z ) z exp i
x exp i
y z
2
m
p y2
py
p y pˆ z2
px
px
exp i
x exp i
y z
exp i
x exp i
y
U ( z ) z
2m
2m

4.

py
px
( x, y, z ) exp i
y exp i
x z Hˆ ( x, y, z ) E ( x, y, z )
pˆ x2 pˆ y2 pˆ z2
Hˆ ( x, y, z )
U ( z ) ( x, y, z )
2m 2m 2m
2
2
2
p
p
y p x
ˆ
p
px
y
z
exp i
x exp i
y
U ( z ) z
2m 2m 2m
2
2
p
p
p
p
pˆ z2
x
x
y
y
exp i
x exp i
y
U ( z ) E z 0
2m 2m 2m
2
2
p
pˆ z2
p
y
x
z - 1D уравнение Шредингера
U ( z ) z E
2
m
2
m
для движения вдоль оси роста,
2m
в направлении которой
имеется ограничивающий
потенциал U(z)

5.

Размерное квантование
y
exp ikr
x, y , z
( z );
S
z k k x e x k y e y - Компонента импульса в плоскости
r xe x ye y
x
слоев
, z 0
pˆ
U
(
z
)
(
z
)
(
z
);
U
(
z
)
0, 0 z a
2m
, z a
2
z
2k 2
E
2m
Движение в плоскости слоев является свободным (на языке огибающей волновой
функции. Влияние кристаллической решетки учтено в эффективной массе), тогда
как движение вдоль вдоль оси роста структуры ограничено барьером
Ограничение движения приводит к квантованию энергии

6.

Размерное квантование
U(z)
U=∞
φ=0
0
2
, z 0
U ( z ) 0, 0 z a
, z a
U=∞
φ=0
a
z
( z ) U ( z ) ( z ) ( z )
2m
0 z a: U 0
2
2m
( z ) ( z ) ( z )
( z ) 2 ( z ) 0; 2
2m
2m
2
2
( z) 0
0
Однородное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка
общее решение есть линейная комбинация двух фундаментальных решений
Уравнение с постоянными коэффициентами фундаментальные решения имеют вид exp z
exp z ( z ) 2 ( z ) 0 уравнение для (характеристическое уравнение)

7.

Размерное квантование
exp z ( z ) 2 ( z ) 0
exp z 2 2 0 2 2 0 i
exp i и exp i - фундаментальные решения
Общее решение
z A exp i B exp i
Для того,чтобы получить энергетический спектр, нужны граничные условия.
Это общая ситуация: энергетический спектр и волновые функции стационарных состояний
определяются граничными условиями

8.

Размерное квантования
U(z)
U=∞
φ=0
U=∞
φ=0
0
a
z
Барьеры – бесконечно высокие. => электрон не
может проникать в барьеры => вероятность найти
электрон внутри барьера равна нулю.
|φ|2 – плотность вероятности положения частицы
=> φ=0 внутри барьеров
Волновая функция обязательно должна быть непрерывной.
(0) 0 - Граничные условия, определяющие энергетический спектр
(a) 0
z A exp i z B exp i z
(0) 0 A B 0
(a) 0 exp i a A exp i a B 0

9.

Размерное квантование
z A exp i z B exp i z ;
2m
2
A B 0
exp i a A exp i z B 0
- Однородная система линейных
алгебраических уравнений
Волновая функция определяет плотность вероятности положения электрона.
Только нетривиальные решения дают волновую функцию.
Однородная система линейных алгебраических уравнений имеет
нетривиальные решения тогда и только тогда, когда равен нулю ее
определитель
1
1
0
exp(i a) exp( i a)
- Уравнение для энергии (уравнение спектра)
exp( i a) exp(i a) 0
exp(i a) cos( a) i sin( a)
exp( i a) cos( a) i sin( a)
sin( a ) 0 a n, n 0, 1, 2
2m
2
n
2n2
2
2ma 2

10.

Размерное квантование
z A exp i z B exp i z ;
2m
2
a
n
A B 0
B A
exp i a A exp i a B 0
z A exp i z exp i z
sin x
exp ix exp ix
2i
z
n z C sin n z C sin n
a
a
dz n z 1 C
2
0
a
dz z
n
0
2
z
z
2
C dz sin n C a d sin 2 n
a
a
0
0
a
2
1
2
sin 2 n 1
1
2 a
2 a
1
C
C a d 1 cos 2 n C
2
2
2 n
2
0
0
1
2
a
2
2
1 C
C
exp i
2
a
a
можно выбирать произвольно. Физические результаты не зависят от выбора .
C
2
n z
2
z
sin n
a
a
if n 0, 0 z 0 n 1, 2,3,

11.

Размерное квантование
Объемный материал
x, y , z
1
exp ik x x exp ik y y exp ik z z
V
E (k x , k y , k z )
2
k k k
2m
2
x
2
y
2
z
Импульс может изменяться свободно в трех направлениях => 3D газ.
Тонкая пленка
n , k , k x, y , z
x
y
n z
2
z
sin n
a
a
E (k x , k y z ) n
n
1
exp ik x x exp ik y x n z
S
2 n2
2
2ma 2
2
k k
2m
2
x
2
y
Импульс может изменяться свободно только
в двух направлениях => 2D газ.

12.

En (k x , k y ) n
n
2
k k
2m
2
x
2
y
2 n2
2
2ma 2
Спектр электрона в тонкой пленке представляет собой набор двумерных
подзон.
В пределах одной подзоны повеление электронов двумерное

13.

Равновесные свойства определяются термодинамическим потенциалом
F
(V , T , F ) T d g ln 1 exp
T
Термодинамический потенциал определяется плотностью состояний (DOS).
Особенности DOS могут проявляться в термодинамических свойствах.

14.

0
0
0
d g ( ) d ( ) d ( ) 1
0
g ( )
0
( )
0
0 0
- плотность одноэлектронных стационарных
состояний

15.

3D электронный газ
V
g ( )
( k )
1
( k ) 2 ( k ) 2
3
(
2
)
k ,
k
1/ 2 k
V
2k 2
V
2k 2
2
2
2
dk
4 dkk
3
(2 )3
2
m
(
2
)
2
m
0
Замена переменной x
V 2m
g ( ) 2 2
2
V 2m
2 2
2
3/ 2
3 / 2
0
2
2
k
2m
V 2m
dx x x 2 2
2
1, 0
0 0
V 2m
2 2
2
3/ 2
, 0
0. 0
3/ 2
g ( )
1 2m
2
2
V
2
( )
3/ 2
( )
dk ( )
k

16.

2D электронный газ
S
g ( )
( k )
1
( k ) 2 ( k ) 2
2
(
2
)
k ,
k
1/ 2 k
S
2k 2
S
2k 2
2
2
dk
2 dkk
2
2
(2 )
2m
(2 )
2m
0
Замена переменной x
S m
g ( )
2
0
2
2
k
2m
dx x S
m
( )
2
g ( )
m
2 ( )
S
dk ( )
k

17.

1D-электронный газ
L
g ( )
( k )
1
( k ) 2 ( k ) 2
2
1/ 2 k
k ,
k
L
2k 2
dk
2m
2k 2
Замена переменной x
2m
1/ 2
1/ 2
L m
dx
1 m
1
g ( ) 2
x L 2
( )
2
2
x
0
g ( ) 1 m
2
L
2
1/ 2
1
( )
dk ( )
k

18.

g ( ) for 3D
g ( ) const ( ) for 2D
1
g ( )
for 1D
Свойства электронного газа сильно зависят от размерности

19.

F
(V , T , F ) T d g ln 1 exp
T
F
exp
T 1
N
T d g
d g N F
F
F T
1 exp
T
1
N F
- распределение Ферми-Дирака (среднее число электронов в
F
1 exp
T
одночастичном состоянии с энергией , и, в то же самое время, вероятность того,
что в одночастичном состоянии есть электрон)
E T
F
d g N F
T
F
p
V

20.

1 / 2, for 3D
g An n ; n 0, for 2 D
1 / 2, for 1D
F
F
n
(V , T , F ) T d g ln 1 exp
TAn d ln 1 exp
T
T
0
0
n 1
TAn
TAn
F
F
n 1
d
(
)
ln
1
exp
lim
ln
1
exp
n 1 0
n 1
T
T
F
exp
n 1
TAn
TAn
T 1
n 1
d
lim ln 1 exp
F
n 1 0
n 1
T
T
1 exp
T
1
n
d
A
n
n 1 0
TA
1
n lim n 1 exp
n 1
F
T
exp
1
T
1
1
d
g
N
E
F
n 1 0
n 1

21.

Ideal Fermi gas in an equilibrium
F
(V , T , F ) T d g ln 1 exp
T
Уровень Ферми
(химический потенциал)
N
N
N d g N F ( ) F , T
F V ,T
V
N F ( )
Внутренняя
энергия
1
F
exp
1
T
E T
N
E d g N F ( )
T V , F
F V ,T
Уравнение термодинамического состояния
1 E
p
n 1 V
1
n
g An
E
n 1
2E
p
, for 3D
3V
1 / 2, for 3D
E
n 0, for 2 D
p , for 2 D
S
1 / 2, for 1D
E
p
2
, for 1D
L
p
V V ,T
Все выражается чере DOS
Причиной различия множителей
является различие DOS

22.

Абсолютный нуль температуры
Газ может находиться только в основном состоянии
E k N k ,
k ,
1, k F
N k ,
0, k F
1
1, F
1
0 1
N F
F T 0 1
exp
0, F
1
1
T
F 0, F
exp
F (T 0) F
T
T 0 , F
Принцип запрета Паули
Два и более электрона не
могут одновременно
находиться в одном
одночастичном состоянии

23.

Абсолютный нуль температуры
F
N d g N F ( ) N d g
T 0
0
g 0 for 0
1, F
N F ( )
0, F
Все различие только в DOS
F
E d g N F ( ) E d g
T 0
0
3D-gas
3/ 2
3/ 2
3/ 2
g
1 2m
N
1 2m F
V 2m 2 3 / 2
2 2
n 2 2 d 2 2
F
V
2
V 2 0
2 3
2/3
2
F
3 2 n n 2 / 3
2m
Различия в DOS приводят
К качественному различию
энергии Ферми
2D-gas
g
m
N
0 2 n 0 d 0 F
S
S
0
F
F
n
0
n

24.

Absolute zero of the temperature
F
E d g N F ( ) E d g
T 0
0
3D-gas
3/ 2
3/ 2
3/ 2
g ( )
1 2m
E
1 2m
1
2
m
2 5/ 2
2 2
2 2 3/ 2 2 2
F
V
2
V 2 0
2 5
F
2/3
2
2m
F
3 2 n 2
2m
3/ 2
3 2 n
E 1 3 2 n 1 5 / 2
5/ 2 2 3/ 2 F
F
V F 5
E 3
n F n 5 / 3
V 5
2D-gas
F
g ( )
m
E
0 2 0 d 0 F2
S
S
2
0
E n F2 1
F 0
n F
0
F
S F 2 2
n
n
E 1
n F n 2
S 2
Различие DOS приводит к
качественно разному
поведению
Внутренней энергии

25.

Absolute zero of the temperature
p
1 E
n 1V
3D-gas
1
2E
p
2 2/3
3
2 5/3
2
3V
n
p
2
5
m
2/3
E 3
3 2
n5 / 3
V 5
2m
n
2D-gas
E
n 0 p
2 2
S
n
p
2
2 m
E
2
n
S 2 m
Различие DOS приводит к качественно различным термодинамическим
свойствам 2D и 3D электронного газа

26.

Конечная температура
Электроный газ может находиться в возбужденных состоянияз
Тепловое уширение энергетических уровней

27.

Уровень Ферми в 2D газе
g
N
n d
N F ( ) 0
S 0
S
0
d
F
exp
1
T
F
F
Td
exp
exp
d
T
T
0
0
F
F
F
F
0
0
exp
exp
1
exp
exp
1
T
T
T
T
F
x exp
T
dx
1
1
dx
1
n 0T dx
0T dx
0T
x x 1
x x 1
exp F /T
exp F /T
exp F /T x exp F /T x 1
0T ln x ln x 1
exp F /T
0T ln
x
x 1
0T ln
x 1 exp F /T
x exp F /T
1
1
F
0T ln 1
0T ln 1
0T ln 1 exp
x exp F /T
T

28.

n
F
1
n 0T ln 1 exp F T ln exp
T
0T
F T ln exp F 1 Определяется отношением характерных
0
T энергий
n
F
T вырожденный электронный газ
F
n
0

29.

Вырожденный 2D газ
F T ln exp F 1 exp F T ln exp F ln 1 exp F
T
T
T
T
T ln 1 exp F F T ln 1 exp F
T
T
T
exp F 1
T
F
F T ln 1 exp
T
T
F
F F T exp F
T
2D:
3D:
T
F F 1 exp F
T
F
2 T 2
F F 1
12 F

30.

Вырожденный 2D газ: теплоемкость
g
g
E
d
N F ( ) d
N F ( ) F F
S 0
S
S
0
g
g
F d
N F ( ) d
N F ( ) F
S
S
0
0
F
T
F
T
Fn 0 d
Fn 0 d
F
F
0
0
exp
1
exp
1
T
T
F
x
d Tdx
T
E
dxx
Fn 0T 2
S
exp x 1
F /T
T
F
F T F F 1 ln exp F
T
F
E
dxx
2
F n 0T
S
exp x 1
F /T

31.

Вырожденный 2D газ: теплоемкость
0
E
dxx
dxx
dxx
2
2
F n 0T
F n 0T
S
exp x 1
F / T exp x 1 0 exp x 1
F / T
F /T
dxx
dxx
2
F n 0T
0 exp x 1 0 exp x 1
1
1
1
exp x 1
exp x 1
F /T
F /T
E
dxx
dxx
2
F n 0T dxx
S
exp x 1 0 exp x 1
0
0
F /T
2
1
dxx
dxx
2
F
F n 0T
2
exp x 1 0 exp x 1
2 T
0

32.

Вырожденный 2D газ: теплоемкость
F /T
2
E
dxx
dxx
2 1 F
F n 0T
2
S
2
T
exp
x
1
exp
x
1
0
0
F /T
dxx
dxx
dxx
exp x
0 exp x 1 0 exp x 1 / T 1 exp x 1 / T dxx
1
F
F
F F
exp 1 0
T T
2
E
1
dxx
2
F
F n 0T
2
2
S
exp x 1
0
2T

33.

Вырожденный 2D газ: теплоемкость
2
2
2
E
1
dxx
1
2
2
F
F
F n 0T 2
2
n
T
T
2.
F
0
0
2
2
S
exp x 1
2T
12
0
2T
2
1 n 2 2
1
Fn
F 0T 2 F n F n 0T 2
2 F
6
2
6
1
2
Fn
0T 2
2
6
E E (T 0) 2
0T 2
S
S
6
E 2
CS
0T
T S
3
0
n
F

34.

Вырожденный 2D газ: теплоемкость
2D:
3D:
CS
CV
2
3
2
3
0T
3 D ( F )T
Различный угол наклона
кривых
Зависимость от концентрации электронов
2D: Cs не зависит от концентрации !!!!
3D: Cv пропорциональна n1/3
Причиной различия физических свойств 2D и 3D газа является отличие
DOS

35.

2D газ: знак уровня Ферми
n
F
1
ln exp
T
0T
n
n
2
F 0, if exp
ln 2
0T
0T
n
n
2
F 0, if exp
ln 2
T
T
0
0
x
вырожденный газ
n
1
0T
n
n
2
F 0, if exp
ln 2
0T
0T
F
T
n
0T
n
1 - невырожденный газ
0T

36.

Невырожденный 2D газ: функция распределения
n
1
0T
n
n
F
n
ln exp
1 ln 1
1 ln
T
0T
0T
0T
F T
exp 0 1
n
T
1
F
N F ( )
exp exp
F
T
T
exp exp
1
T
T
- распределение Больцмана (!!!)
В невырожденном электронном газе, распределение Ферми-Дирака
переходит в распределение Больцмана!!!
Вследствие этого, свойства вырожденного и невырожденного газа качественно
отличаются !!!!

37.

Невырожденный 2D газ: теплоемкость
E
F
d g N F ( ) 0 d N F ( ) 0 exp d exp
S 0
T 0
T
0
F
2
0T exp d exp
T 0 T T
T
New variable of integratio n x
T
E
F
0T 2 exp dx exp x x
S
T 0
dx exp x x d exp x x x exp( x)
0
0
0 exp( x) 0 1
E
F
0T 2 exp
S
T
0
dx exp x
0

38.

Невырожденный 2D газ: теплоемкость
E
F
2
0T exp
S
T
n
1
0T
2
3
n
n 1 n 1 n
F
1 1
1
exp exp
T
0T
0T 2 0T 6 0T
2
3
n 1 n 1 n
0T 2 0T 6 0T
2
2
n
E
F
n
1
n
1
n
2
2
2
2
0T 2 2 0T 2 2
0T exp 0T
S
0 T
6
0 T 0T
T
0T 2
1 n2 1 n n2
nT
2 0 6 0T 0

39.

Невырожденный 2D газ: теплоемкость
2
E
1n
1 n n
nT
S
2 0 6 0T 0
2
Классический газ
Квантовая поправка второго порядка
Квантовая поправка первого порядка
1 n 2
CS n 1
6 0T
Очень слабая зависимость от температуры

40.

2D газ: теплоемкость
Вырожденный газ C S
2
3
0T
1) Линейная зависимость от температуры
2) Очень слабая зависимость от концентрации
1 n 2
Невырожденный газ CS n 1
6 0T
1) Очень слабая зависимость от температуры
2) Линейная зависимость от концентрации
Физический свойства вырожденного и невырожденного электронного
газа качественно отличаются