Математическое описание радиосигналов

1. ТЕМА 4 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ РАДИОСИГНАЛОВ

2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВИДЕО-СИГНАЛОВ В РАДИОСИГНАЛЫ

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВИДЕОСИГНАЛОВ В РАДИОСИГНАЛЫ
• Как правило, у видеосигналов спектр содержит низкие
частоты и отношение fс / f0 1, где fс – ширина его
спектра, а f0 – средняя частота спектра.
• Такой спектр частот передать на большое расстояние
непосредственно с помощью радиоволн невозможно из-за:
– относительной узкополосности (2 f0,7 / f0 1) передающих и
приёмных устройств;
– относительной узкополосности их антенн;
– особенностей распространения различных длин радиоволн.
• Чтобы сделать спектр видеосигнала относительно
узкополосным ( fс /f0 1), нужно повысить его среднюю
частоту f0, т. е. перенести спектр видеосигнала из
низкочастотной области в диапазон высоких частот.
• Такое преобразование спектра может быть получено с
помощью управления одним или несколькими параметрами (модуляции) вспомогательного высокочастотного
сигнала-переносчика, называемого несущим.

3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВИДЕО-СИГНАЛОВ В РАДИОСИГНАЛЫ

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВИДЕОСИГНАЛОВ В РАДИОСИГНАЛЫ
• При таком преобразовании частота несущего сигнала fн
fв , где fв – верхняя частота спектра видеосигнала. Поэтому,
чем выше требуемая скорость передачи информации и,
следовательно, шире спектр сообщения (больше fв), тем
выше должна быть несущая частота радиосигнала.
• В качестве несущего сигнала чаще всего используется ВЧ
гармонический сигнал. В зависимости от того, какой из
трёх его параметров модулируется: амплитуда, частота
или фаза, – различают, соответственно, АМ-, ЧМ- и ФМрадиосигналы. ЧМ- и ФМ-сигнал рассматривают как
радиосигнал с угловой модуляцией (УМ).
• В общем случае модулированный радиосигнал можно
представить в виде:
U(t) = Um(t)cos[ (t)],
где амплитуда Um(t) или фаза (угол) (t) изменяются по закону
передаваемого видеосигнала.

4. УСЛОВИЕ МЕДЛЕННОСТИ ИЗМЕНЕНИЯ АМПЛИТУДЫ И ФАЗЫ

• При любом виде модуляции амплитуда, частота и фаза
радиосигнала должны изменяться в пределах одного
периода настолько медленно, чтобы можно было считать
несущее колебание гармоническим.
• При дальнейшем рассмотрении свойств радиосигналов и
их спектров будем полагать, что выполняется условие
“медленности” изменения функций Um(t) и (t), задаваемое
как:
dU m 1
f 0 для амплитуды;
dt U m
d
2
2 f 0
2
dt
2
для фазы.

5. ВРЕМЕННЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОДНОТОНАЛЬНОГО АМ СИГНАЛА

• При АМ в высокочастотном (ВЧ) несущем колебании
остаются неизменными частота н и начальная фаза 0, а
изменяется только его амплитуда Umн по закону изменения
видеосигнала Uм(t), то есть Umн(t) = f[Uм(t)] и
U ÀÌ (t ) U mí (t )cos( í t 0 )
!!! Изменение UАМ(t) “вниз” не может быть больше Umн, а
изменение “вверх” может быть больше Umн.
• Пусть амплитуда Umн(t) изменяется по закону
модулирующего низкочастотного (НЧ) гармонического
видеосигнала, где Umм – амплитуда; м – частота; 0 –
начальная фаза. Тогда амплитуду ВЧ-колебания можно
записать в виде
U mí (t ) U mí [1 m cos( ì t 0 )]

6. ВРЕМЕННЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОДНОТОНАЛЬНОГО АМ СИГНАЛА

U mí (t ) U mí [1 m cos( ì t 0 )]
Umн – амплитуда немодулированного (несущего) ВЧ колебания;
m b
U mì
U mí
где m – коэффициент модуляции;
b – коэффициент пропорциональности.
Тогда АМ-сигнал получим в виде:
U ÀÌ (t ) U mí [1 m cos( ì t 0 )]cos( í t 0 )
Коэффициент модуляции m можно определить формуле:
Так как максимальное изменение UАМ не должно по абсолютной
величине превышать Umн , коэффициент m не должен превышать
1 (100%). Максимальное значение амплитуды UАМmax = Umн(1 + m) и
минимальное UАМmin= =Umн(1 – m).
m (U ÀÌ max U ÀÌ min ) /(U ÀÌ max U ÀÌ min ) U ÀÌ / U mí

7. ВРЕМЕННЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОДНОТОНАЛЬНОГО АМ СИГНАЛА

0
Uн(t)
Sн( )
Tн = 2 / н
Umн
а
Umн
0
t
г
0
Uм(t)
– 0
Sм( )
Tм = 2 / м
Umм
Umм
б
н
д
0
t
0
SАМ( )
UАМ(t)
UАМmax
м
UАМmin
Umн
Umн
в
е
0
0,5mUmн
t
0
Tн = 2 / н
н– м
н
с = 2 м
н+ м

8. СПЕКТР АМ СИГНАЛА

U ÀÌ (t ) U mí [1 m cos( ì t 0 )]cos( í t 0 )
Эту формулу можно преобразовать к виду:
U ÀÌ (t ) U mí cos( í t 0 ) 0,5mU mí cos[( í ì )t 0 0 )]
0,5mU mí cos[( í ì )t 0 0 )].
Первое слагаемое представляет собой немодулированное
ВЧ-колебание с частотой н. Второе и третье слагаемые с
частотами ( н + м) и ( н – м) называются, соответственно,
верхней и нижней боковыми составляющими. Их
амплитуды одинаковы и равны UmБ = 0,5mUmн .
Ширина спектра АМ-сигнала равна
модулирующего сигнала: с = 2 м .
удвоенной
частоте

9. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА АМ СИГНАЛА

Максимальная (пиковая) мощность:
Pmax = Pн(1 + m)2
и минимальная:
Pmin = Pн(1 – m)2,
где
Pн = U2mн / 2R – мощность несущей, выделяемая на
сопротивлении нагрузки R;
Pб = m2Pн / 4.
При m = 1 Pmax = 4Pн и Pmin = 0. Средняя мощность равна
сумме мощностей всех составляющих спектра:
U m2 н m2U m2 н m 2
Pн
Pср Pн 2 Pб
1
2R
4R
2
При m = 1, Pср = 1,5Pн и Pб = 0,25Pн.
Поскольку информация о передаваемом сигнале содержится
только в боковых составляющих и их суммарная
мощность вдвое меньше Pн, такой вид АМ-сигнала
энергетически неэффективен.

10. АМ СИГНАЛ С ПОДАВЛЕННОЙ НЕСУЩЕЙ

U ÀÌ (t ) 0,5mU mí cos[( í ì )t 0 0 )]
0,5mU mí cos[( í ì )t 0 0 )].
Его спектр содержит только две боковые составляющие с
амплитудой Umб = 0,5mUmн , и форма сигнала имеет вид
биений двух гармонических колебаний. Однако при
демодуляции этого сигнала необходимо восстановить
несущее колебание.
Так как информация о передаваемом сигнале содержится в
каждой боковой составляющей, для уменьшения ширины
спектра используется АМ-сигнал с подавленной верхней
или нижней боковой составляющей (ОБП- или SSBсигналы – от английского single-side band):
U ÀÌ (t ) U mí cos( í t 0 ) 0,5mU mí
cos[( í èëè ì )t 0 èëè 0 )]

11. АМ СИГНАЛ С ПОДАВЛЕННОЙ НЕСУЩЕЙ

SАМ( )
UАМ(t)
0,5mUmн
а
mUmн
б
0
н– м
н
н+ м
0
t
0
t
с = 2 м
SАМ( )
UАМ(t)
Umн
в
г
0,5mUmн
0
н– м
н
н+ м
с = м
SАМ( )
UАМ(t)
0,5mUmн
д
0
0,5mUmн
е
н– м
с = м
н
н+ м
0
t

12. АМ СИГНАЛ С ПОДАВЛЕННОЙ НЕСУЩЕЙ

• Спектр сигнала с ОБП содержит несущую и боковую
составляющую с амплитудой Umб = 0,5mUmн, Используют
сигнал с ОБП и полным или частичным подавлением
несущего колебания.
U ÀÌ (t ) 0,5mU mí cos[( í èëè ì )t 0 èëè 0 )]
• Если спектр модулирующего сигнала Sм( ) содержит ряд
гармонических составляющих с различными частотами, то
каждое
из
них
в
спектре
АМ-сигнала
создаёт,
соответственно, верхнюю и нижнюю боковые составляющие, образующие нижнюю и верхнюю боковые полосы.
Sм( )
SАМ( )
нижняя полоса
Umн
а
верхняя полоса
б
0
м,m
0,5mNUmн
0
н– м,m
н
с = 2 м,m
н+ м,m

13. АМ СИГНАЛ С ПОДАВЛЕННОЙ НЕСУЩЕЙ

• ширина
спектра
АМ-сигнала
SАМ( )
зависит
от
максимального значения частоты м,m составляющей в
спектре модулирующего сигнала и равна с = 2 мm
• Амплитуды боковых составляющих многотонального АМ-
сигнала определяются как UбN = 0,5mNUmн , где mN –
парциальный коэффициент модуляции, который зависит
отSм( )
амплитуды N-й составляющей
модулирующего сигнала.
S ( )
АМ
Umн
а
нижняя полоса
верхняя полоса
б
0
м,m
0,5mNUmн
0
н– м,m
н
с = 2 м,m
н+ м,m

14. ФМ- И ЧМ-СИГНАЛЫ

• Фазо- и частотно-модулированные сигналы (ФМ и ЧМ)
характеризуются тем, что в несущем ВЧ-колебании при
постоянной амплитуде Umн соответственно изменяется
текущая фаза либо мгновенная частота Н.
UЧМ(t)
Tнmax
Tнmin
Umн
а
0
t
Tм = 2 / м
SЧМ( )
1
б
SЧМ( )
Umн
0
н
с
н + м
2,4
в
0,5 Umн
н – м
Uм(t)
0
н
с

15. ФМ- И ЧМ-СИГНАЛЫ

• При ФМ
UÔÌ (t ) U mí cos[ í t kô Uì (t )]
где kф [рад / В] – коэффициент пропорциональности для ФМ;
н – частота ВЧ-колебания без модуляции.
Предельное значение ä Uì max (t )kô называется девиацией
фазы.
(t ) Í k÷U ì (t )
• При ЧM изменяется мгновенная частота,
ä U ì max (t )k÷
и её предельное значение, равное
, называется девиацией частоты. (kч [рад / (В c)] – коэффициент
пропорциональности для ЧМ).
Если Uм (t) - плавно изменяющийся сигнал, то нет внешних
различий между сигналами ФМ и ЧМ.

16. СВОЙСТВА ЧМ-СИГНАЛА

• При ФМ
UÔÌ (t ) U mí cos[ í t kô Uì (t )]
где kф [рад / В] – коэффициент пропорциональности для ФМ;
н – частота ВЧ-колебания без модуляции.
Предельное значение ä Uì max (t )kô называется девиацией
фазы.
(t ) Í k÷U ì (t )
• При ЧM изменяется мгновенная частота,
ä U ì max (t )k÷
и её предельное значение, равное
, называется девиацией частоты. (kч [рад / (В c)] – коэффициент
пропорциональности для ЧМ).
Если Uм (t) - плавно изменяющийся сигнал, то нет внешних
d (t )
различий между сигналами ФМ и ЧМ.
(t )
dt
Так как мгновенная частота УМ-сигнала
, то
текущая фаза:
t
(t ) (t )dt const

17. СВОЙСТВА ЧМ-СИГНАЛА

• В случае однотонального модулирующего видеосигнала
мгновенная частота ЧМ-сигнала изменяется по гармоническому закону: (t ) cos( t )
í
• Тогда
ä
ì
(t ) í t sin( ì t 0 )
• где = д / м – индекс частотной модуляции; 0 –
начальная фаза (константа интегрирования).
• В случае 1 спектр ЧМ-сигнала содержит колебание с
частотой н и две боковые составляющие на частотах ( н+
м) и ( н– м), т. е. ширина спектра равна с = 2 м.
• При этом однотональный ЧМ-сигнал отличается от АМсигнала только фазой –1800 нижней боковой
составляющей Индекс играет ту же роль, что и
коэффициент m для АМ.

18. СВОЙСТВА ЧМ-СИГНАЛА

• при 1 спектр однотонального ЧМ-сигнала содержит
бесконечное число гармонических составляющих (ширина
спектра бесконечна) с частотами ( н+ n м) и ( н – n м),
симметрично расположенными относительно частоты
несущего колебания н и для нечётной n-й нижней боковой
полосы имеющими фазу минус 1800. Амплитуда n-й
боковой составляющей равна Un = Jn( )Umн , однако начиная
с n = + 1 боковые составляющие можно не учитывать, т. к.
их амплитуды становятся весьма малыми и ими можно
пренебречь.
• Поэтому можно считать, что однотональный ЧМ-сигнал
занимает полосу частот с = 2 м ( + 1), а если 1,
можно считать, что с 2 м = 2 д.
• т. е. ширина спектра приблизительно равна удвоенной
девиации частоты.
• При одинаковом однотональном модулирующем сигнале
спектр ЧМ- и ФМ-сигналов сложнее спектра АМ-сигнала.

19. СРАВНЕНИЕ АМ- И УМ-СИГНАЛОВ

• при одинаковом многотональном модулирующем сигнале
спектр ЧМ- и ФМ-сигналов значительно сложнее спектра
АМ-сигнала;
• для случая однотональной модуляции:
– Отношение мощностей Pmax / Pmin AM-сигнала за период
управляющего сигнала изменяется в широких пределах (при
m 1 оно устремляется к бесконечности), и значительная
доля мощности приходится на несущее колебание.
– Мощность сигнала с УМ постоянна во времени и при 1 в
основном приходится
на
боковые
частоты, а
при
некоторых значениях (например, при 2,4) вообще
отсутствует несущее колебание.
– Следовательно, сигнал с УМ по энергетическим показателям
превосходит AM-сигнал.
– Ширина спектра AM-сигнала значительно меньше или равна
ширине для сигнала с УМ. Ширина спектра ЧМ-сигнала
меньше, чем у ФМ-сигнала.
– АМ-сигнал больше подвержен воздействию амплитудных
помех, которые при приёме сигнала с УМ легко устраняются
амплитудным ограничителем.