Главные и естественные граничные условия. Условия на разрывы. Лекция 5

1. Лекция 5:

Главные и естественные граничные
условия. Условия на разрывы.

2. План лекции:

п.1 Главные и естественные граничные условия.
п.2 Условия на разрывы.

3. п.1 Главные и естественные граничные условия.

На предыдущих лекциях была рассмотрена следующая задача:
Найти ф. u (x) , которая на интервале I {x : 0 x 1} удовлетворяет
дифференциальному уравнению:
(2.1)
d
du
Lu
( p ( x) ) q ( x)u ( x) f ( x)
dx
dx
а на границе граничным условиям:
u (0) u (1) 0
(2.2)
(2.1), (2.2) – первая краевая задача.
(2.2) – граничное условие 1-го рода.
Сформулируем для уравнения (2.1) другие краевые задачи.
Если на концах отрезка заданы краевые условия
u (0) u (1) 0 ,
(5.1)
то задача (2.1), (5.1) называется второй краевой задачей, а (5.1) –
краевыми условиями 2-го рода.

4.

Для того, чтобы 2-я краевая задача была однозначно разрешена, помимо
условий (2.3) следует потребовать, чтобы
(5.2)
q ( x) 0 .
Определение 5.1:
Обобщенным решением задачи (2.1), (5.1) будем называть функцию
(5.3)
u H 1 ( I ), a(u, v) l (v), v H 1 ( I )
(5.3) – вариационная постановка задачи.
В данном случае сделана вариационная постановка 2-ой краевой задачи.
Обобщенное решение 1-ой краевой задачи искалось в пространстве H 01 ,
функции v также брались из пространства H 01 . Т.е. u и v на концах отрезка
обязаны были обращаться в 0.
Для 2-ой краевой задачи (2.1), (5.1) значения функций u и v на концах
свободны и не обязаны удовлетворять каким – либо дополнительным
условиям.
Поэтому граничные условия 2-го рода называют естественными,
а граничные условия 1-го рода называют главными.

5.

Пусть для (2.1) на концах отрезка заданы следующие граничные условия:
u (0) 0, p (1)u (1) u (1) g
p (1)u (1) u (1) g - граничное условие 3-го рода.
(5.4)
Если бы на обоих концах отрезка были заданы граничные условия 3-го
рода, то мы имели бы третью краевую задачу.
В нашем случае (2.1), (5.4) – смешанная краевая задача.
Задача (2.1), (5.4) будет однозначно разрешима, если кроме условий (2.3)
Будет иметь место
0
(5.5)
.
(2.1), (2.2) и (2.1), (5.1) – задачи с однородными граничными условиями.

6.

Сформулируем краевую задачу с главными неоднородными условиями
и ее вариационную постановку. Пусть для (2.1) заданы граничные
условия
u(0) g1 , u(1) g2
(5.6)
Определение 5.2:
ф. u H 1 ( I ) называется обобщенным решением задачи (2.1), (5.6), если
1
она удовлетворяет условиям (5.6) и для любой ф. v( x) H 0 ( I )будет
удовлетворять интегральному тождеству:
a(u, v) l (v)

7. 2. Условия на разрыве.

Понятие обобщенного решения мы ввели для того, чтобы определить
решение для уравнений, в которых коэффициенты и правые части могут
терпеть разрыв.
Выясним каким дополнительным условиям должно удовлетворять
решение в точках разрыва коэффициентов и правой части.
Пусть в т. x ,0 1, коэффициент p (x ) терпит разрыв, т.е. p( 0) p( 0)
и коэффициент p (x ) непрерывен на (0, ), ( ,1) .
Обобщенное решение задачи (2.1), (2.2) должно удовлетворять
интегральному тождеству: a(u, v) l (v) ,
т.е.
1
0 a (u , v) l (v) p ( x)u ( x)v ( x) q ( x)u ( x)v( x) f ( x)v( x) dx
0
1
0
pu v quv fv dx pu v quv fv dx

8.

Интегрируем первое слагаемое по частям, воспользуемся равенствами
(2.1) и граничными условиями (2.2), получаем:
0 ( pu ) qu f vdx p( 0)u ( 0)v( 0)
0
1
( pu ) qu f vdx p( x)u ( x)v( x) x 0 p( 0)u ( 0) p( 0)u ( 0) v( )
По определению обобщенного решения ф. v( x) H 01 ( I ) . По теореме
1
вложения Соболева: H 0 C ( I ) , т.е. ф. v непрерывна на 0,1 , поэтому
правомерна наша запись.
Так как ф.v произвольная, следовательно в т. она не равна 0. Имеем
следующее равенство:
(5.7) p( 0)u ( 0) p( 0)u ( 0) 0
du ( x)
Обозначим w( x) p ( x)
, ф. w(x ) будем называть потоком.
dx
Поток непрерывен во всех точках 0,1 . В т. x это следует из условия
(5.7), в остальных точках x, где коэффициент p (x ) непрерывен, из
непрерывности потока будет следовать непрерывность ф. u (x ).

9.

Чтобы определить обобщенное решение задачи (2.1), (2.2) в т. x
помимо (5.7) необходимо еще одно дополнительное условие.
1
1
Так как обобщенное решение u H 0 ( I ) и H 0 ( I ) C ( I ) (т.е. обобщенное
решение u непрерывно при x ).
Таким образом в т. x должны выполняться следующие два условия:
(5.8) u x u ( 0) u ( 0) 0, pu x 0
(5.8) - условия сопряжения или условия согласования.
Может показаться, что условия (5.8) искусственные. На самом деле это не
так, что можно увидеть из любой физической задачи.
Например, если (2.1) описывает процесс переноса тепла в неоднородном
теле, то на интерфейсе (границе двух различных сред), коэффициент
теплопроводности терпит разрыв, но в то же время очевидно, что на
интерфейсе температура и тепловой поток непрерывны.