Решетки квазимногообразий групп

1.

Решетки квазимногообразий групп
Мамаев К.А.
Алтайский государственный университет,
Барнаул, Россия
Мой выбор – НАУКА!
19 - 29 Апреля 2023

2.

Основные определения и теоремы
Определение 1.
Формула вида (∀x
1) ... (∀x
n) t1(x1,...,xn)=t2(x1,...,xn), где
t1(x1,...,xn), t2(x1,...,xn) - групповые слова в переменных из
алфавита 1{x
, ..., nx} , называется тождеством.
Определение 2.
Формула вида (∀x
1) ... (∀x
n) t1 = t‘1 & ... & tk = t‘k → t=t‘
,где 1t,t 1‘ ,...,tk ,t k‘ ,t,t‘ - групповые слова в переменных из
алфавита 1{x
, ..., nx}, называется квазитождеством.
Определение 3.
Класс групп M называется многообразием, если существу
множество тождеств Σ таких, что G ∈ M тогда и только т
когда все формулы из Σ истинны в G.

3.

Основные определения и теоремы
Определение 4.
Класс групп M называется квазимногообразием, если
существует множество квазитождеств Σ | G ∈ M тогда и
только тогда, когда все формулы из Σ истинны в G.
Определение 5.
Множество S называется частично упорядоченным, если
задано бинарное отношение ≤ , т.е для некоторых
упорядоченных пар a,b ∈ S положено a ≤ b, должны
выполняться:
1) a ≤ a, (закон рефлексивности)
2) если a ≤ b и b ≤ c , то а ≤ c, (закон транзитивности)
3) если a ≤ b и b ≤ a то a=b. (закон антисимметричности)
Определение 6.
Частично упорядоченное множество называется решетко
для любых a,b ∈ S есть точная верхняя грань и точная ни
грань (a ∨ b, a ∧ b).

4.

Основные определения и теоремы
Теорема 1.
Пусть M - квазимногообразие абелевых групп, содержащ
Тогда M задается формулами:
1) Ψ = (∀x) (∀y) (xy=yx)
n+1
n
2) Ψpn+1 = (∀x)(xp = 1 → xp =1),
n
где p,n (p ∈ P) – всевозможные числа такие,
∈X
что
(M).
p
Если X (M) = ∅, то M совпадает с классом абелевых групп
Теорема 2.
Пусть M - нетривиальное абелево квазимногообразие,
∈ M.
Z/
Тогда M является многообразием и задается тождествам
Ψ = (∀x)(∀y) (xy=yx),
Ψm = (∀x) (xm=1),
где m – произведение всех чисел из X (M).

5.

Основные определения и теоремы
Теорема 3.
Пусть S произвольное множество конечных циклических
p-групп, где p пробегает множество P всех простых чисел
Тогда всякая циклическая p-группа из квазимногообрази
qS ∪ {Z } изоморфна подходящей подгруппе некоторой г
из S.
Построение решеток
1. Квазимногообразие75q(Z
,Z).
Теорема 4.
РешеткаqL(q(Z75, Z )) - это решетка, изображенная на рис. 1
Доказательство.
Алгоритм построения решетки
L , Z )).
q(q(Z75
1) Выпишем циклические p-группы из этого
квазимногообразия, воспользовавшись теоремой 3. Для э
заметим, что q(Z
75, Z ) = q(Z
25, Z3, Z ).
2) Вычисляем χ(q(Z
75, Z )).

6.

Построение решеток
3) Выписываем циклические p-группы, которыми могут
порождаться подквазимногообразия данного
квазимногообразия.
4) Строим решетку, при этом иногда добавляем к циклич
p-группам ранее найденные списки p-групп.
Видим, что
1) Цикл(q(Z
Z, Z5, Z25}
75))= {E , 3
2) χ(q(Z75, Z ))={1, 3, 25}
Отсюда из теоремы 1 получаем, что квазимногообразие
q(Z75,Z) задается следующим множеством квазитождеств
(∀x)(∀y) (xy=yx)
(∀x)(x9 = 1 → x3 = 1)
(∀x)(x125 = 1 → x25 = 1)
p
(∀p =
̸ 5)(∀p ̸= 3) (∀x)(x
= 1 → x = 1)

7.

Построение решеток
Выпишем теперь все возможные варианты Цикл(N ) для
подквазимногообразий N квазимногообразия
75,Z). q(Z
3)Цикл(N
)
=
{E
},
1
Цикл(N2) = {E , Z
3},
Цикл(N3) = {E , Z
5},
Цикл(N4) = {E , Z
3, Z5},
Цикл(N5) = {E , Z
5, Z25},
Цикл(N6) = {E , Z
3, Z5, Z25}.
Получаем следующие подквазимногообразия
квазимногообразия75q(Z
,Z):
N 1=qE,
N 2=qZ3,
N 3=qZ5,
N 4=q{Z3, Z5},
N 5=qZ25,
N 6=qZ75,
N 7=qZ,
N 8=q{Z , 3Z},

8.

Построение решеток
N 9=q{Z , 5Z},
N 10=q{Z , 15
Z},
N 11=q{Z , 25
Z},
N 12=q{Z , 75
Z}.
В результате получили решетку, изображенную на рис. 1
Теорема доказана.
2. Квазимногообразие7,Z
q(Z
72 ,...,Z10)
Теорема 5.
РешеткаqL(q(Z7, Z72, ..., Z
10)) - это решетка, изображенная на
рис. 2.
Доказательство.

9.

Построение решеток
Сначала докажем, что Z ∈
Z72, ..., Z
7, q(Z
10).
Z7=(a1), Z72 = (a2),...
ā = (a1, a2, a3,...)=(e,e,e,...).
a1m = 1 → m делится на 7,
a2m = 1 → m делится на 49,
...
Такого m не существует.
ām ̸= 1 для любого ma)→=(¯Z.
Алгоритм построения решетки
q(q(Z7L, Z72 , ..., Z
10)).
1) Выпишем циклические p-группы из этого
квазимногообразия, воспользовавшись теоремой ??. Для
заметим, что q(Z
7, Z72 , ..., Z
10) = q(Z7, Z72 , ..., Z
2, Z5).
2) Вычисляем χ(q(Z
7, Z72 , ..., Z
10)).
3) Выписываем циклические p-группы, которыми могут
порождаться подквазимногообразия данного
квазимногообразия.

10.

Построение решеток
4) Строим решетку, при этом иногда добавляем к циклич
p-группам ранее найденные списки p-групп.
Пусть M = q(Z7, Z72 , ..., Z
10). Из теоремы 5 следует, что
1)Цикл(q(M)={E ,2Z
, Z5, Z7, Z72 , ...}.
2)χ(M)={1, 2, 5}
Отсюда из теоремы 1 получаем, что M задается следующ
квазитождествами:
(∀x)(∀y) (xy=yx),
(∀x)(x4 = 1 → x2 = 1),
(∀x)(x25 = 1 → x5 = 1),
n
(∀x)(xp +1 = 1 → xp = 1), где p пробегает множество просты
чисел, отличных от 2,5,7.

11.

Построение решеток
Возможны следующие варианты для подквазимногообраз
квазимногообразия M:
3) Цикл(N
1)=E
Цикл(N2) = {E , Z
2}
Цикл(N3)={E , 5Z}
Цикл(Kn)={E , 7Z, Z72, ..., Z
7n } (n=1,2,...),
Цикл(Mn)={E , 2Z, Z7, Z72 , ..., Z
7n } (n=1,2,...),
Цикл(Rn)={E , 5Z, Z7, Z72, ..., Z
7n } (n=1,2,...),
Цикл(N7)={E , 2Z, Z5},
Цикл(Ln)={E , 2Z, Z5, Z7, Z72 , ..., Z
7n } (n=1,2,...).

12.

Построение решеток
Возможны следующие квазимногообразия:
N 1=qE,
N 2=qZ2,
N 3=qZ5,
K n=q{Z7n },
M n=q{Z2, Z7n },
R 6=q{Z5, Z7n },
N 7=q{Z2, Z5},
L n=q{Z2, Z5, Z7n },
N 9=qZ,
N 10=q{Z , 2Z},
N 11=q{Z , 5Z},
qZ ∪ Kn=q{Z , 7Zn },
qZ ∪ M n=q{Z , 2Z, Z7n },
qZ ∪ Rn=q{Z , 5Z, Z7n },
N 15=q{Z , 2Z, Z5},
qZ ∪ Ln=q{Z , 2Z, Z5, Z7n }.

13.

Построение решеток
Еще имеются подквазимногообразия, содержащие бескон
множество циклических 7-групп:
q(Z7, Z72 , Z73 , ...),q(Z
7, Z72 , ..., Z
2), q(Z7, Z72 , ..., Z
5),
q(Z7, Z72 , ..., Z
2, Z5) = M.
В результате видим, что решетка
q(M) -Lэто решетка,
изображенная на рис. 2. Теорема доказана.

14.

Рисунки решеток