Понятие производной. Геометрический и механический смысл

1.

Понятие производной

2.

«Если продолжить одно
из маленьких звеньев
ломаной,
составляющей кривую
линию, то эта
продолженная таким
образом сторона будет
называться
касательной к кривой.»

3. Касательная к кривой.

4.

- это угловой коэффициент касательной.
Р1
Р

5. Угловой коэффициент прямой.

Прямая проходит через начало
координат и точку Р(3; -1). Чему
равен ее угловой коэффициент?
1 3k
1
k
3

6. Найдите угловые коэффициенты прямых:

2
1
1
4
2
3
3
4

7.

При х 0 угловой коэффициен т секущей к угловому
коэффициен ту касательной.
y
y f (x)
y
tg k
x
Р1
k – угловой
коэффициент
прямой(секущей)
y
y
0
y kx b
Р
х0
х х0
х
х
Секущая стремится занять положение касательной.
То есть, касательная есть предельное положение
секущей.

8.

y
y f (x)
y
0
х0
х 0х
х
Угловой коэффициент касательной можно найти как
предел выражения:
f ( x ) f ( x0 )
k ( x) lim
x x
x x0
0

9.

y f (x)
y
y
tg k
x
k – угловой
коэффициент
прямой(секущей)
y
y kx b
y
Обозначение:
0
х0
х 0 х
х
f (x )
Производной функции f ( x) в точке х0 называется
f ( x)
число, к которому стремится отношение
при х 0.
x

10.

y
y f (x)
f ( x ) tg k
y kx b
y
0
х0
х 0х
k – угловой
коэффициент
прямой(касательной)
х
Геометрический смысл производной
Производная от функции в данной точке равна
угловому коэффициенту касательной, проведенной к
графику функции в этой точке.

11.

y
y f (x)
В
y
tg k
x
k – угловой
коэффициент
прямой(секущей)
y
y kx b
А
1
0
х0
х 0 х
f ( x0 ) tg 1
х
Геометрический
смыслкоэффициен
производной.
Производная
от
При х
угловой
тх0секущей
к угловому
йy0функции
Производно
f
(
x
)
в
точке
называется
( x0 ) (производно
tg k в данной
f точке
й от fкоэффициенту
( x) в точке х0 .
функции
равна угловому
коэффициен
x ту касательной.
f ( xв) этой
касательной,
проведенной
к
графику
функции
число, к которому стремится отношение
при х 0.
при х 0
x
точке.

12. Исаак Ньютон (1643 – 1727)

«Когда величина является максимальной
или минимальной, в этот момент она не
течет ни вперед, ни назад.»

13.

Свободное падение
2
gt
s
2
S t S t g t t
v
1
t
ср
vср ?
t1
t1 t
2
1
2
2
2 t1 t
g
vср t1 t
2

14.

Свободное падение
gt
s
2
t
t t 2t
1
vср ?
t1
2
g
vср t1 t
2
g
t1 t t
gt
t
2
1

15.

Используя слово «предел», можно
сказать, что мгновенная скорость
в точке t – это предел средней
скорости при стягивании отрезка,
на котором она изменяется, в
точку t или в символической записи
S (t1 ) S (t )
v(t ) lim
t t
t1 t
1
- это скорость

16.

х
vср .
t
Δх – перемещение тела
Δt – промежуток времени
в течение которого выполнялось
движение
При t 0 vcр. к мгновенной скорости v(t ),
следовательно, v(t ) S (t ).
S (t ) v (t )
или х (t ) v(t )
f ( х) v( x)
.