Уравнения и неравенства. Равносильность уравнений

1.

«Уравнения и
неравенства»
«Равносильность уравнений»

2.

История уравнения:
Сначала была задача.
Она привела к уравнению.
И решение уравнения стало задачей.

3.

Уравнение - равенство с переменной
f(x)=g(x).
Корень
всякое значение
уравнения - переменной, при котором
выражения f(x) и g(x)
принимают равные
числовые значения.
Решить
уравнение - Значит найти все его
корни или доказать, что
их нет.

4.

Основные виды уравнений.
1) линейное
2) квадратное
3) дробно-рациональное
4) иррациональное: содержит выражения
5) показательное: содержит выражения
6) логарифмическое: содержит выражения
7) тригонометрическое: содержит выражения

5.

Цели урока.
Вспомнить, обобщить и систематизировать
знания о принципиальных вопросах, связанных с
решением уравнений:
1) Что такое равносильные уравнения?
2) Какие преобразования уравнений являются
равносильными, а какие – нет?
3) Когда и как надо делать проверку найденных
корней?

6.

Определение 1. Два уравнения с
одной переменной
f(х) = g(х) и р(х) = h(х)
называют равносильными, если
множества их корней совпадают.
Иными словами, два уравнения называют
равносильными, если они имеют одинаковые
корни или если оба уравнения не имеют корней.
Обозначение: f(x)=g(x) <=> p(x)=h(x)

7.

Примеры к определению 1.
Пример 1.
1)Уравнения
,
равносильны
(пример в начале урока), так как их корни – числа 1
и 4 – совпадают.
2) Уравнения
равносильны
(доказать).
3) Уравнения
равносильны
(доказать).

8.

Определение 2. Если каждый
корень первого уравнения f(х) = g(х)
является одновременно корнем
второго уравнения р(х) = h(х), то
второе уравнение называют
следствием первого.
Обозначение: f(x)=g(x) => p(x)=h(x)

9.

Примеры к определению 2.
Пример 2.
1) Уравнение
уравнение
Тогда
имеет корни 1 и 4, а
имеет корень 4.
.
2) Уравнение
- следствие уравнения
(доказать).

10.

Связь определений 1,2.
Вопрос. Если уравнение p(x)=h(x)
равносильно уравнению f(x)=g(x), то
будет ли оно его следствием?
Ответ. Да. Так как множество
корней уравнений совпадает, то
каждый корень одного уравнения
является корнем второго.

11.

Следствие из определений 1,2.
Два уравнения равносильны
тогда и только тогда, когда каждое
из них является следствием другого.

12.

Самостоятельная работа (время 15 минут).
Будут ли данные уравнения равносильны?
1)
2)
3)
4)
5)
6)

13.

Правильные ответы.
1) Да. (корень обоих уравнений: -2)
2) Да. (корень обоих уравнений: 3)
3) Нет. (корни первого уравнения: -2; 1;
второго уравнения: -2; -1)
4) Нет. (корни первого уравнения: 8; 5;
второго уравнения: 8)
5) Нет. (корни первого уравнения: -1; 1;
второго уравнения: 1)
6) Да. (оба уравнения не имеют корней)
оценка «3»: 0 – 3 заданий.
оценка «4»: 4 – 5 заданий.
оценка «5»: 5 – 6 заданий.

14.

В итоге можно сказать, что решение уравнения, как
правило, осуществляется в три этапа.
Этапы решения уравнения:
Первый этап — технический. На этом этапе осуществляют
преобразования по схеме (1) → (2) → (3)→ (4) → ... и находят
корни последнего (самого простого) уравнения указанной
цепочки.
Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя
проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они
были равносильными.
Третий этап — проверка. Если анализ, проведенный на втором
этапе, показывает, что некоторые преобразования могли
привести к уравнению-следствию, то обязательна проверка
всех найденных корней их подстановкой в исходное
уравнение.

15.

Задача решения
уравнения
(реализация плана)
связана с поисками
ответов на следующие
вопросы.

16.

Как узнать, является ли
переход от одного
уравнения к другому
равносильным
преобразованием?

17.

Какие
преобразования не
сохраняют
равносильность?

18.

Если появились посторонние
корни, то как сделать
проверку в случае, когда она
сопряжена со
значительными
вычислительными
трудностями?

19.

В каких случаях при
переходе от одного
уравнения к другому
может произойти
потеря корней и как
этого не допустить?

20.

Задача решения уравнения связана с поисками
ответов на следующие вопросы.
• Как узнать, является ли переход от одного
уравнения к другому равносильным
преобразованием?
• Какие преобразования не сохраняют
равносильность?
• Если появились посторонние корни, то как сделать
проверку в случае, когда она сопряжена со
значительными вычислительными трудностями?
• В каких случаях при переходе от одного уравнения
к другому может произойти потеря корней и как
этого не допустить?

21.

Теоремы о равносильности уравнений
• «Спокойные (безусловные) теоремы» гарантируют
равносильность преобразований без каких-либо дополнительных
условий, их использование не причиняет решающему никаких
неприятностей.
• «Беспокойные (условные) теоремы» работают
лишь при определенных условиях, а значит, могут доставить
некоторые неприятности при решении уравнений.

22.

«Спокойные
(безусловные)
теоремы»

23.

Теорема 1. Если какой-либо
член уравнения перенести из
одной части уравнения в
другую с противоположным
знаком, то получится
уравнение, равносильное
данному.

24.

Теорема 2. Если обе
части уравнения возвести
в одну и ту же нечетную
степень, то получится
уравнение, равносильное
данному.

25.

Теорема 3.
Показательное уравнение
f(x)
g(x)
а = а (где а > 0, a≠1)
равносильно уравнению
f(x) = g(х).

26.

«Спокойные (безусловные) теоремы»
Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из
одной части уравнения в другую с противоположным
знаком, то получится уравнение, равносильное
данному.
Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и
ту же нечетную степень, то получится уравнение,
равносильное данному.
Теорема 3. Показательное уравнение аf(x) = аg(x) (где а > 0,
a≠1) равносильно уравнению f(x) = g(х).

27.

Примеры к теоремам 1-3.
1) уравнение
равносильно уравнению
2)
3)

28.

ОДЗ
Определение 3. Областью определения
уравнения f(х) = g(х) или областью
допустимых значений переменной (ОДЗ)
называют
множество
тех
значений
переменной х, при которых одновременно
имеют смысл выражения
f(х) и g(х).

29.

«Беспокойные
(условные)
теоремы»

30.

Теорема 4. Если обе части
уравнения
f(x) = g(х) умножить на одно и то же
выражение h(х), которое:
а) имеет смысл всюду в области
определения (в области допустимых
значений) уравнения f(x) = g(х)
б) нигде в этой области не обращается в 0,
то получится уравнение f(x)h(x) = g(x)h(x),
равносильное данному в его ОДЗ.

31.

Теорема 5. Если обе части
уравнения f(x) = g(х)
неотрицательны в ОДЗ
уравнения, то после возведения
обеих его частей в одну и ту же
четную степень n получится
n
n
уравнение (f(x)) =(g(x))
равносильное данному в его ОДЗ.

32.

Теорема 6. Пусть а>0 и a≠1,
f(х) > 0, g(х) > 0 . Тогда
логарифмическое уравнение
loga f(x) = loga g(x) равносильно
уравнению f(x) = g(х).

33.

«Беспокойные (условные) теоремы»
Теорема 4. Если обе части уравнения f(x) = g(х) умножить на одно и то же
выражение h(х), которое:
а) имеет смысл всюду в области определения (в области допустимых
значений) уравнения f(x) = g(х)
б) нигде в этой области не обращается в 0
то получится уравнение f(x)h(x) = g(x)h(x), равносильное данному в его
ОДЗ.
Теорема 5. Если обе части уравнения f(x) = g(х) неотрицательны в ОДЗ
уравнения, то после возведения обеих его частей в одну и ту же четную
степень n получится уравнение (f(x))n=(g(x))n равносильное данному в
его ОДЗ.
Теорема 6. Пусть а>0 и a≠1, f(х) > 0, g(х) > 0 . Тогда уравнение
loga f(x) = loga g(x) равносильно уравнению f(x) = g(х).

34.

Краткая (символьная) запись
теорем 4 – 6.
Теорема 4. f(x) = g(x) ⇔ h(x)f(x) = h(x)g(x), где h(x) ≠0
и h(x) имеет смысл в ОДЗ данного уравнения.
Теорема 5. f(x) = g(x) ⇔ (f(x))n=(g(x))n , где f(x)≥0,
g(x)≥0
и n=2k (чётное число).
Теорема 6. loga f(x) = loga g(x) ⇔ f(x) = g(х), где f(х) > 0, g(х) > 0
и а>0, a≠1.

35.

Преобразование данного уравнения
в уравнение – следствие.
Проверка корней.
Если в процессе решения уравнения применяем теоремы
4-6, не проверив выполнения ограничительных условий, то
получим уравнение-следствие, т. е. появятся посторонние
корни вследствие расширения ОДЗ уравнения.
Причины появления посторонних корней:
1) избавление от знаменателей, содержащих переменную
величину;
2) избавление от корней четной степени;
3) избавление от логарифмов.

36.

Обобщение.

37.

Два уравнения называются
равносильными, если совпадают
множества их корней.

38.

Если уравнение (2) – следствие
уравнения (1), то каждое
решение (корень) уравнения (1)
является решением уравнения
(2).

39.

Какие преобразования уравнений являются
равносильными
(теоремы 1, 2, 3)?
1) Перенос любого члена уравнения из одной
части уравнения в другую с противоположным
знаком.
2) Возведение обеих частей уравнения в одну и
ту же нечетную степень.
3) Если показательное уравнение приведено к
одному основанию, то это основание (число)
можно отбросить из уравнения.

40.

Какие преобразования уравнений могут
привести к уравнению-следствию, то есть к
появлению посторонних корней?
(теоремы 4-6)
1) Умножение обеих частей уравнения
на выражение с переменной (неизвестным).
2) Возведение обеих частей уравнения
в одну и ту же четную степень.
3) Если в логарифмическом уравнении
избавиться от знаков логарифма.

41.

Три основных этапа решения
уравнения.
1) Технический -
цепочка преобразований.
2) Анализ решения проверка
преобразований на равносильность.
3) Проверка - если преобразования не были
равносильными, то проверяем найденные корни
подстановкой в исходное уравнение.

42.

О потере корней.
Основные причины потери корней при решении
уравнений:
1) Деление обеих частей уравнения на одно и то
же выражение h(х) (кроме тех случаев, когда
точно известно, что всюду в области
определения уравнения выполняется условие
h(х) ≠ 0);
2) Сужение ОДЗ в процессе решения уравнения.