Алгебраический язык уравнений

1. Алгебраический язык уравнений

2. МОУ «Средняя образовательная школа №3г.Ершова Саратовской области»

Автор работы: Бесшапошникова Юлия 8 класс
Руководитель работы: Рахматулина Р.Р.
учитель математики
2010г

3. ·ЦЕЛЬ:

Понять ,для чего нужно переводить задачу с
родного языка на язык алгебраический, как
именно выполняется такой перевод.
Знать,в какие доисторические времена
появились задачи на составление уравнений.
Узнать побольше об истории создания и
решения различных уравнений.
Хорошо научиться решать уравнения,используя,
если возможно, данный материал.

4.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние
ученые владели какими-то общими приемами решения
задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном
папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания
этих приемов. Авторы лишь изредка снабжали свои
числовые выкладки скупыми комментариями типа:
"Смотри!", "Делай так!", "Ты правильно нашел". В этом
смысле исключением является "Арифметика" греческого
математика Диофанта Александрийского (III в.) – собрание
задач на составление уравнений с систематическим
изложением их решений.

5.

Решение уравнений – зачастую дело нетрудное;
составление уравнений по данным задачи нас не
затрудняет. Мы видим , что составлять уравнения
действительно сводится к умению переводить “с
родного языка на алгебраический”. Но язык алгебры
весьма немногословен; поэтому перевести на него
удается без труда далеко не каждому. Переводы
попадаются различные по трудности, как убедимся из
ряда приведенных далее примеров на составление
уравнений первой степени. Мне интересно и я хочу
этим заниматься.

6. Алгебра есть не что иное, как математический язык, приспособленный для обозначения отношений между количествами”. И. Ньютон

Алгебра – часть математики, которая изучает общие свойства
действий над различными величинами и решение
уравнений, связанных с этими действиями.
Решим задачу:
“Возрасты трех братьев 30, 20 и 6 лет. Через сколько лет возраст
старшего будет равен сумме возрастов обоих младших братьев?”
Обозначив искомое число лет через х, составим уравнение: 30 + х =
(20+х) +(6 + х) откуда х = 4.
Близкий к описанному метод решения задач был известен еще во II
тысячелетии до н.э. писцам Древнего Египта (однако они не
применяли буквенной символики).
В сохранившихся до наших дней математических папирусах имеются
не только задачи, которые приводят к уравнениям первой степени с
одним неизвестным, как в задаче о возрасте братьев, но и задачи,
приводящие к уравнениям вида ах² = b.

7. Книга «Арифметика»Диофанта Александрийского

8. Жизнь Диофанта

История сохранила нам мало черт биографии замечательного древнего
математика Диофанта. Все, что известно о нем, подчеркнуто из надписи
на его гробнице, надписи, составленной в форме математической задачи.
На родном языке
На языке алгебры
Путник! Здесь прах погребен Диофанта.И числа поведать
могут,о чудо,скольдолог был век его жизни.
х
Часть шестую его представляло прекрасное детство.
х/6
12 часть протекла еще жизни – покрылся пухом тогда
подбородок.
х/12
Седьмую в бездетном браке провел Диофант.
х/7
Прошло пятилетие;он был осчастливлен рождением
прекрасного первенца сына
5
Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой дал на
земле по сравненью с отцом.
х/2
И в печали глубокой старец земного удела конец
воспринял,переживши года 4 с тех пор,как сына лишился.
Скажи,сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял
Диофант?
х = х/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4

9. Решив уравнение и найдя, что х = 84,узнаем следующие черты биографии Диофанта: он женился в 21 год,стал отцом в 38 лет,потерял

сына на 80-м году и умер в 84 года
Вот еще несложная старинная задача, легко переводимая с родного языка на язык
алгебры.
«Лошадь и мул шли бок – о бок с тяжелой поклажей на спине.Лошадь жаловалась
на свою непомерно тяжелую ношу. «Чего ты жалуешься? – отвечал ей мул. – Ведь
если я возьму у тебя один мешок, ноша моя станет вдвое тяжелее твоей. А вот если
бы ты сняла с моей спины один мешок, твоя поклажа стала бы одинакова с моей».
Сколько мешков несла лошадь и сколько нес мул?
Мы приведем задачу к системе уравнений с двумя неизвестными:
х + 1 = 2(х – 1)
2х – у = 3
у–1=х+1
или
у–х=2
Решив, получим: х = 5 у = 7 (лошадь несла 5 мешков, мул 7 мешков).
Дальше покажем таблицу перевода другой задачи с родного языка на язык алгебры.

10.

На родном
языке
На языке алгебры
у 4 братьев 450 рублей
х + y + z + t = 450
Если деньги первого увеличить на 20 руб
х + 20
Деньги второго уменьшить на 20 руб.
у - 20
Деньги третьего увеличить вдвое
2z
Деньги четвертого уменьшить вдвое
t/2
То у всех окажется поровну
x + 20 = у – 20 = 2 z = t/2
1)Получим три уравнения: х + 20 = у – 20
х + 20 = 2 z
x + 20 = t/2
2) откуда получим:
у = х + 40
z = (x + 20)/2
t = 2x + 40
3) Подставим в ур – ние
Х + у + z + t = 450
4)Получим х = 80
у = 120
z = 50
t = 200

11. Задача «Прогулка»

- Зайди ко мне завтра днем, - сказал старый доктор своему знакомому. Благодарю вас. Я выйду в три часа. Может быть, и вы надумаете прогуляться,
так выходите в то же время, встретимся на полпути.
- Вы забываете, что я старик, шагаю в час всего только 3 км, а вы, молодой
человек, проходите при самом медленном шаге 4 км в час. Не грешно бы дать
мне небольшую льготу.
- Справедливо. Так как я прохожу больше вас на 1 км в час, то, чтобы уравнять
нас, дам вам этот километр, т.е. выйду на четверть часа раньше. Достаточно?
- Очень любезно с вашей стороны, поспешил согласиться старик.
Молодой человек так и сделал: вышел из дому в три четверти третьего и шел со
скоростью 4 км в час. А доктор вышел ровно в три и делал по 3 км в час. Когда они
встретились, старик повернул обратно и направился домой вместе с молодым
другом.
Только возвратившись домой, сообразил молодой человек, что из – за льготной
четверти часа ему пришлось в общем итоге пройти не вдвое, а вчетверо больше, чем
доктору.
Как далеко от дома доктора до дома его молодого знакомого?

12. Решение задачи

Обозначим расстояние между домами через x (км).
Молодой человек всего прошел 2x, а доктор вчетверо
меньше, т.е. x/2. До встречи доктор прошел половину
пройденного им пути, т.е. x/4, а молодой человек –
остальное, т.е. 3x/4. Свою часть пути доктор прошел в x/12
часа, а молодой человек – в 3x/16 часа, причем мы знаем,
что он был в пути на ¼ часа дольше, чем доктор.
Имеем уравнение:
(3x/16) – (x/12) = 1/4;
откуда x = 2.4 км.
От дома молодого человека до дома доктора – 2,4 км.

13. Нужна парикмахеру математика?

Может ли алгебра понадобиться в парехмахерской?
Оказывается, что такие случаи бывают. Автору этой
задачи пришлось
убедиться в этом, когда однажды в парикмахерской
подошел к нему мастер с неожиданной просьбой:
- Не поможете ли нам разрешить задачу, с которой мы
никак не справимся?
Уж сколько раствора испортили из – за этого! – добавил
другой.
- В чем задача? – осведомился автор.
- У нас имеется два раствора перекиси водорода: 30 –
процентный и 3 – процентный. Нужно их смешать так,
чтобы составился12 – процентный раствор. Не
можем подыскать правильной пропорции…

14. Алгебраическое решение задачи

Задачу можно решить и арифмически, но язык алгебры приводит здесь к цели
проще и быстрее.
Пусть для составления 12 – процентной смеси требуется взять x
граммов 3 – процентного
раствора и y граммов 30 – процентного . В первой порции берется
тогда 0,03x граммов
чистой перекиси водорода, во второй 0,3y, а всего 0,03x + 0.3y.
При этом получается x + y граммов раствора, в котором
чистой перекиси 0,12(x + y).
Имеем уравнение
0,03x + 0.3y = 0.12(x + y).
Умножив все члены уравнения на 100 и раскрыв скобки, получаем:
3x + 30y = 12x + 12y, откуда
18y = 9x и x/y = 2.
Значит, 3 – процентного раствора надо взять вдвое больше, чем 30
– процентного.

15. Уравнение думает за нас

На вечеринке было 20 танцующих. Мария
танцевала с семью танцорами, Ольга – с восемью,
Вера – с девятью и так далее до Нины, которая
танцевала со всеми танцорами. Сколько
танцоров(мужчин) было на вечеринке?
Задача решается очень просто, если
удачно
выбрать неизвестное. Будем искать
число не
танцоров, а танцорок, которых
обозначим
через x:
1 – я, Мария, танцовала с 6 + 1
танцорами
2 – я, Ольга,
“
“ 6 +2
“
3 – я, Вера,
“
“ 6+ 3
“
x – я, Нина,
“
“6 + x
“
Имеем уравнение
x + (6 + x) = 20,
откуда
x = 7,
а, следовательно, число танцоров –
Отцу 32 года, сыну 5 лет. Через сколько лет отец
будет в 10 раз старше сына?
Решение
Пусть искомый срок х. Спустя х лет отцу будет
32 + х лет, сыну 5 + х.
Так как отец должен тогда быть в 10 раз старше
сына, то имеем уравнение:
32 + х = 10(5 + х).
Решив его , получим х = - 2.
- 2 означает «два года назад»
Когда было составлено, не предполагалось, что
возраст отца никогда в будущем не окажется в 10
раз превосходить возраст сына, что такое
соотношение могло быть только в прошлом .

16. Возникновение квадратных уравнений

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в
древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением
площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а
также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели
решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне. Применяя современную алгебраическую
запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме
неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает
по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне
до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят
только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний
относительно того, каким образом они были найдены.
Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных
текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения
квадратных уравнений.

17. Решение Диофантом квадратных уравнений

В«Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней
содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и
решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.
При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает
неизвестные.
Вот, к примеру, одна из его задач.
Задача: «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение — 96».
Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые
числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не
96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т. е. 10 + х, другое
же меньше, т. е. 10 - х. Разность между ними 2х. Отсюда уравнение
(10+x)(10—x) =96, или жеВ 100 —x² = 96. x² - 4 = 0
Отсюда х == 2. Одно из искомых
чисел равно 12, другое 8. Решение х = - 2 для Диофанта не существует, так как греческая
математика знала только положительные числа.
Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то
мы придем к решению уравнения y(20-y)=96 y² - 20y+96=0
Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант
упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного
уравнения.

18. Вывод

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают
ведущее место. На их изучение отводится времени
больше, чем на любую другую тему. Действительно,
уравнения не только имеют важное теоретическое
значение, но и служат чисто практическим целям.
Подавляющее большинство задач о пространственных
формах и количественных отношениях реального мира
сводится к решению различных видов уравнений.
Овладевая способами их решения, мы находим ответы
на различные вопросы из науки и техники (транспорт,
сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.). Я с
удовольствием овладеваю всеми зтими знаниями.

19. Используемая литература и ресурсы

1/.http://www.bestrefarat.ru/referat- 50689.html.
2.Я.И.Перельман «Занимательная алгебра»
3.http://www.virtmath.ru/Iskusstvo_sostavljat__uravne
nija
4. Цыпкин А. Г. , С. А. Степанова. « Справочник по
математике для средней школы» Москва « Наука»,
1980год.