Симметрия, подобие и аналогии в физических задачах

1.

Симметрия, подобие и
аналогии в физических
задачах
Информационный проект

2.

1.1. Симметрия в задачах механики
Расчет параметров, характеризующих строение механической системы
Для уменьшения количества неизвестных в системах уравнений и упрощения рассуждений

3.

1.1. Симметрия в задачах механики
• Симметрия пространства (изотропия)
Тепловое расширение

4.

1.2. Симметрия в задачах электродинамики
• Симметрия как вспомогательный инструмент:

5.

1.2. Симметрия в задачах электродинамики
• «Бесконечные» цепочки

6.

1.2. Симметрия в задачах электродинамики
• Сетки сопротивлений

7.

2.2. Математическое описание метода механического подобия
• Однородная функция:
Примеры:
• Определение силы через потенциальную энергию:

8.

2.2. Математическое описание метода механического подобия
• Допустим что мы изменили масштаб по оси координат в α раз, а найти хотим изменение по оси
времени (во сколько β раз оно изменилось). Движение происходит в поле потенциальной силы
Пример использования формулы: пусть у нас есть два электрических заряда противоположных
знаков, мы разводим их на некоторое расстояние и отпускаем без начальной скорости, после чего
фиксируем время T1 за которое расстояние между ними уменьшится в 2 раза; как изменится это
время, если начальное расстояние увеличить в 2 раза?

9.

3.2. Метод электростатических изображений

10.

3.3. Оптико-механическая аналогия
• Рассмотрим движение тела в некотором потенциальном поле. Очевидно, что так как энергия
сохраняется, то верны следующие соотношения:
Рассмотрим наиболее простой случай, когда сила, формирующая потенциальное поле,
направлена в одну сторону (например, вдоль оси Y), а движение тела происходит не в трех
измерениях, а только в плоскости XOY. Тогда, так как сила перпендикулярна оси X, то верно что:

11.

3.3. Оптико-механическая аналогия
Движение луча в такой среде, используя самый базовый
закон оптики — закон Снеллиуса, удовлетворяет
уравнению:
Проводя аналогию, поймем что в таком случае
траектория луча совпадет с траекторией частицы при:

12.

3.3. Оптико-механическая аналогия
• Показатель
формуле:
преломления
подчиняется
следующей
Рассмотрим тело, брошенное под углом к горизонту в поле
тяжести:
• Сопоставим такому движению движение некоторого луча в
среде с переменным показателем преломления — он также
будет двигаться по параболе, если будет верно, что:

13.

3.4. Об идентичности подходов в электростатике и
гравистатике
• Теорема Гаусса для электрического
поля:
• Выводится она из соображения:
• Проведем аналогию:
• Простой
Земли":
пример,
поле
"плоской
, но такому же закону подчиняется поле гравитационное:

14.

3.3. Тождественность теплопроводности и диффузии
• Теплопроводность — явление «протекания» тепла между двумя точками пространства, при наличии
между ними разности температур. Описывается так называемым законом Фурье
• Диффузия — явление перемешивания газов при наличии между двумя точками
пространства разности концентраций какой-то компоненты смеси. Описывается законом
Фика:

15.

3.4. Гидродинамо-электромагнитная аналогия

16.

Спасибо за внимание!