Вписанные и описанные четырехугольники

Дана трапеция ABCD с основаниями BC иAD. Точки M и N являются серединамисторон AB иCD соответственно. Окружность, проходящая через точки B иС, пересекает
отрезки BM и CN в точках P и Q (отличных от концов отрезков).
а) Докажите, чтоточки M,N, P и Q лежат на одной окружности.
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника MPQ, если прямая DP перпендикулярна прямой PC, AB = 25, BC = 3, CD = 28, AD = 20.
Дано:
Решение:
Окружность α
А)
ABCD - трапеция
MN || AD (т.к. MN - средняя линия)
BC, AD - основания
M - середина AB
Пусть ∠BAD=α, тогда ∠BMN=α, а ∠CBA=180°-α
∠PQC=180°- ∠PBC (т.к. сумма противолежащих углов вписанного 4-угольника равна 180°)
∠PQN=180°- ∠PQC=180°- α(т.к. сумма смежных углов равна 180°) ⇒ ∠PQN+∠PMN=180°⇒
⇒ около четырехугольника PQNM можно описать окружность. ЧТД
N - середина CD
Б)
a ∩ BM = P
окружность описана вокруг четырехугольника PQNM, а значит, и вокруг △MPN.
<) △CDP - прямоугольный (по условию)
CN = ND ⇒ PN - медиана, проведенная к гипотенузе CD ⇒ PN = ½CD = 14
a ∩ CN = Q
Проведём высоты трапеции BH и CK
Пусть АН = x, а KD = 17-x
Зная, что высоты, проведенные из точек В и С к основанию AD равны
Составим и решим уравнение:
<) △ABH - прямоугольный (т.к. BH высота)
DP ⟂ PC
AB = 25
BC = 3
CD = 28
AD = 20
А)Док-ть, что M,N,P,Q
лежать на 1 окружности
Б)R - ?
(По теореме Пифагора)
(По теореме синусов)
Ответ:

3.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём диаметром окружности является его диагональ AC. Также известно, чтов ABCD можно вписать окружность.
а)Докажите, чтоотрезки AC и BD перпендикулярны.
б)Найдите радиус вписанной окружности четырёхугольника ABCD, если AC=26 и BD=10.
Дано:
ABCD –
четырёхугольник, вписан
в окружность
А)
Построим BD и AC, которые пересекаются в точке M.
Так как в ABCD можно вписать окружность (по условию):
AB + CD = BC + AD = a (т.к. если суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны, то
в него можно вписать окружность)
Пусть AB = x, BC = y, CD = (а – x) и AD = (а – у).
∠ABC = ∠ADC = 90° (т.к. АС - диаметр по условию, а вписанные углы, опирающиеся на диаметр прямые)
По теореме Пифагора:
<) △ABC
<) △ADC
AC² = AB² + BC²
AC² = CD² + AD²
AC² = x² + y²
AC² = (a – x)² + (a – y)²
(a – x)² + (a – y)² = x² + y²
2a² - 2ax + x² - 2ay + y² = x² + y²
2a² - 2ax - 2ay = 0
2a² = 2ax + 2ay
2a² = 2a(x + y)
/ : 2a
a=x+y
x + y = a => AB=AD и BC=DC
<) ΔABC и ΔADC
ΔABC = ΔADC (по третьему признаку
1)AB=AD
равенства треугольников - по трём сторонам)
2)BC=DC
3)АС – общая сторона
ΔABC = ΔADC => ∠ACB = ∠ACD (как соответственные углы равных треугольников) =>
=> CM — биссектриса треугольника DBC, а также его высота и медиана. CM ∈ AC
СМ ⊥ DB (как высота) => AC ⊥ BD
ЧТД
AC – диагональ,
диаметр описанной окру
жности
AC = 26
BD = 10
в ABCD можно вписать
окружность
А)Док-ть, что AC ⟂ BD
Б)r - ?
Решение:
=>

4.

5.

Параллелограмм и окружность расположены так, что сторона AB касается окружности, CD является хордой, а стороны DA и BC пересекают окружность в
точках P и Q соответственно.
а) Докажите, чтооколо четырехугольника ABQP можно описать окружность.
б) Найдите длину отрезка DQ, если известно, чтоAP = a,BC = b, BQ = c
Дано:
Решение:
Окружность α
ABCD - параллелограмм
CD - хорда
А)
<) CDPQ
1)CDPQ вписан в окружность
2)PD || CQ
=> CDPQ ― либо прямоугольник, либо равнобедренная трапеция
=>
=> PQ = CD
AB - касательная
DA ∩ α = P
BC ∩ α = Q
AP = a
BC = b
BQ = c
А)Док-ть, что около
четырехугольника ABQP
можно описать
окружность
Б)DQ - ?
CD = AB => ABQP ― также прямоугольник или равнобедренная трапеция =>
=> около него можно описать окружность
ЧТД
Б)
AK = AD * AP = ba (Поскольку AK ― касательная к данной окружности, а AD ― секущая;
Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, то
квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю
часть)
Аналогично находим BK² = bc =>
=>
<) CDPQ равнобок. трапеция
Пусть QH ― высота равнобедренной трапеции CDPQ. Тогда:
DQ² = PQ² + CQ*DP (по теореме Птолемея для вписанного четырехугольника)
DQ = b +
Ответ: b +

English Русский Rules

Вписанные и описанные четырехугольники

1.

2.

3.

4.

5.