НОК и НОД. Разложение на простые множители

1.

Разложение на простые множители
1) Всякое составное число можно разложить
на простые множители.
2) При любом способе получается одно и то же
разложение, если не учитывать порядка
записи множителей.
3) При разложении чисел на простые
множители используют признаки делимости.

2.

Разложение на простые множители
1260 2
630 2
315 3
105 3
35 5
7 7
1
1260 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

3.

Разложение на простые множители
3400 2
1700 2
850 2
425 5
85 5
17 17
1
3400 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 17

4.

Наибольший общий делитель (НОД)
Среди запасов белки на зиму имеется 45 орехов и 60
белых грибов. Какое наибольшее число одинаковых
сухих пайков можно составить, если использовать
все эти грибы и орехи?
Делители 60:
1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60
Делители 45:
1; 3; 5; 9; 15; 45
Общие делители:
1; 3; 5; 15 − наибольший общий делитель

5.

Наибольший общий делитель (НОД)
Наибольшее натуральное число, на которое
делятся без остатка числа а и b, называют
наибольшим общим делителем этих чисел.
Делители 55: 1; 5; 11; 55
Делители 42: 1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42
Общие делители: 1 - НОД(55; 42)
Натуральные
числа
называют
взаимно
простыми, если их наибольший общий делитель
равен 1.

6.

Наибольший общий делитель (НОД)
1260 2
630 2
315 3
105 3
35 5
7 7
1
1260 = 2∙2∙3∙3∙5∙7;
3400 2
1700 2
850 2
425 5
85 5
17 17
1
3400 = 2∙2∙2∙5∙5∙17
НОД(1260; 3400) = 2∙2∙5 = 20

7.

Наибольший общий делитель (НОД)
Чтобы найти наибольший общий делитель
нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) из множителей, входящих в разложение
одного из этих чисел, вычеркнуть те,
которые не входят в разложение других
чисел;
3) найти произведение оставшихся
множителей.

8.

Наибольший общий делитель (НОД)
Если все данные числа делятся на одно из них, то
это число и является наибольшим общим делителем
данных чисел.
Делители 12: 1; 2; 3; 4; 6; 12
Делители 36: 1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36
Делители 48: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48
НОД(12; 36; 48) = 12

9.

Наименьшее общее кратное (НОК)
Женя проезжает круговую дистанцию на мотоцикле
за 75 секунд, а Валя – за 60 секунд. Какое
наименьшее время им потребуется, чтобы они
поравнялись на финише?
Кратные 75:
75; 150; 225; 300; 375; 450; 525; 600; …
Кратные 60:
60; 120; 180; 240; 300; 360; 420; 480; 540; 600; …
Общие кратные:
300; 600; 900; 1200; −…наименьшее общее кратное

10.

Наименьшее общее кратное (НОК)
Наименьшим общим кратным натуральных
чисел а и b называют наименьшее натуральное
число, которое кратно и а, и b.
75 3
25 5
5 5
1
75 = 3∙5∙5;
60 2
30 2
15 3
5 5
1
60 = 2∙2∙3∙5;
НОК(75; 60) = 3∙5∙∙5∙2∙2 = 300

11.

Наименьшее общее кратное (НОК)
Чтобы найти наименьшее общее кратное
нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) выписать множители, входящие в
разложение одного из чисел;
3) добавить к ним недостающие множители
из разложений остальных чисел;
4) найти произведение получившихся
множителей.

12.

Наименьшее общее кратное (НОК)
Если одно из данных чисел делится на все остальные
числа, то это число и является наименьшим общим
кратным данных чисел.
Кратные 12: 12; 24; 36; 48; 60; 72; …
Кратные 15: 15; 30; 45; 60; 75; 90; 105; …
Кратные 20: 20; 40; 60; 80; 100; 120; 140; …
Кратные 60: 60; 120; 180; 240; 300; 360; …
НОК(12; 15; 20; 60) = 60