Тригонометрические уравнения

1.

10 класс
Тема «Тригонометрические
уравнения»

2.

Формулы корней простейших тригонометрических
уравнений
1.сos t = а , где |а| ≤ 1
или
2.sint = а, где | а |≤ 1
или
Частные случаи
Частные случаи
1)cost=0
t = π/2+πk‚ kЄZ
1)sint=0
t = 0+πk‚ kЄZ
2)cost=1
t = 0+2πk‚ kЄZ
2)sint=1
t = π/2+2πk‚ kЄZ
3)cost = -1
t = π+2πk‚ kЄZ
3)sint = - 1
t = - π/2+2πk‚ kЄZ
3. tgt = а, аЄR
t = arctg а + πk‚ kЄZ
4. ctgt = а, аЄR
t = arcctg а + πk‚ kЄZ

3.

К простейшим также относятся
уравнения вида
f(kx+m)=a

4.

Решение простейших уравнений
1) tg2x = -1
2) cos(x+π/3) = ½
2x = arctg (-1) + πk, kЄZ
2x = -π/4 + πk, kЄZ
x = -π/8 + πk/2, kЄZ
x+π/3 = ±arccos1/2 + 2πk, kЄZ
x+π/3 = ±π/3 + 2πk, kЄZ
x = -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ
Ответ: -π/8 + πk/2, kЄZ.
Ответ: -π/3 ± π/3 + 2πk, kЄZ
3) sin(π – x/3) = 0
упростим по формулам
приведения
sin(x/3) = 0
частный случай
x/3 = πk, kЄZ
x = 3πk, kЄZ.
Ответ: 3πk, kЄZ.

5.

3
sin 4x
0
2
Уравнение уже имеет простейший
вид
3
t 4x , однако можно
2
применить формулы приведения и
упростить его.
t
cos 4x 0
t
cos 4x 0
Это частный вид
уравнения cos t=a
a=0
4x k
2
Разделим обе части на 4.
k
Ответ: x
8 2

6.

2 cos 4x 1 0
Уравнение переносом слагаемого и
делением обеих частей легко сводится к
простейшему.
1
cos 4x
2
t
1
cos 4x
2
1
4x arccos
2 k
2
4x 2 k
4
Разделим обе части на 4.
k
x
16 2
Ответ:
k
x
16 2

7.

cos 3x 0
3
Это частный вид
уравнения cos t=a
a=0
3x k
3
2
3x k
2 3
Уравнение уже имеет простейший
вид t 3x
3
3x k ( 3)
6
k
x
18 3
Ответ:
k
x
18 3

8.

2
cos 2x
2
2
2
cos 2x
2
2
Уравнение уже имеет простейший
вид
можно использовать четность функции cos,
применить формулы приведения и
упростить его.
2
sin 2x
2
2
2x ( 1) arcsin
k
2
k
t 2x , однако,
2
2x ( 1) k
4
k
k
x ( 1)
8 2
2
k
Ответ:
k
x ( 1)
8 2
k

9.

1 вариант
2 вариант
1
cos 3x
3
2
2
cos 2x
2
2
3
sin 4x
0
2
2 cos x 0
x
3ctg 3
4
cos( x ) 1
x
3tg 1
2
2 cos 4x 1 0

10.

Домашняя работа
§18, п.1 разобрать примеры
№18.3—18.5(а,б)