Similar presentations:
Двумерная дискретизация (лекция 8)
1.
Двумерная дискретизацияОцифровка и визуализация изображений
Основное требование при компьютерной
обработке изображений – трансформация
(физически непрерывной) функции в дискретную форму.
Оцифровка включает в себя последовательное
выполнение двух операций:
- дискретизации
- квантования
f x, y
f S x, y u m, n
2.
Процедура визуализации изображенияпредусматривает операцию дискретно-аналогового
преобразования
u m, n
~
f x, y
3.
Теория дискретизацииМатематически процесс дискретизации
изображения продемонстрируем для
двумерной функции с ограниченным спектром
Двумерная функция
f x, y
имеет ограниченный
спектр, если для Фурье-образа
F 1 , 2
выполняется условие
4.
F 1 , 2 0, 1 x0 ; 2 y 0где переменные
x 0 ; y 0
максимальные пространственные частоты по x и y
В случае циркулярной симметрии
0 x0 y0
5.
Идеальная дискретизирующая функция представляетсобой (бесконечный) двумерный массив Дельта-функций,
расположенных в узлах прямоугольной регулярной сетки
comb x, y; x, y x m x, y n y
m ,n
6.
Операция дискретизации есть произведение исходнойфункции на дискретизирующую
f S x, y f x, y comb x, y; x, y
f m x, n y x m x, y n y
m , n
7.
Фурье-образ дискретизирующей (comb) функции естьфункция,
имеющая тот же вид, что и исходная
COMB 1 , 2 F comb x, y; x, y
xs ys 1 k xs , 2 l ys
k ,l
xs ys comb 1 , 2 ; 1 , 1
x y
8.
Пространственные частоты дискретизации покоординатным направлениям равны величинам,
обратным соответствующим шагам дискретизации
xs 1 x , ys 1 y
9.
Воспользуемся правилом, согласно которомупроизведение функций в исходном пространстве
эквивалентно свертке соответствующих Фурье-образов
FS 1 , 2 F 1 , 2 COMB 1 , 2
xs ys F 1 , 2 1 k xs , 2 l ys
k ,l
xs ys F 1 k xs , 2 l ys
k ,l
10.
Фурье-образ дискретизированной функциипредставляет собой периодическую (бесконечную)
комбинацию Фурье-образа исходной (непрерывной)
функции, продублированного в узлах сетки
,
xs
ys
11.
Восстановление непрерывной функцииЕсли спектр исходного (непрерывного) изображения
может быть каким-либо образом восстановлен из
спектра дискретного, то мы можем восстановить
и исходную функцию.
Это возможно, если выполняются условия
xs 2 x 0 , ys 2 y 0
что эквивалентно условию выбора шагов дискретизации,
удовлетворяющих
x
1
2 x 0
, y
1
2 y 0
12.
В этом случае “сохранить” Фурье-образ исходнойфункции можно, применив идеальный
низкочастотный фильтр со следующими
характеристиками
1
,
H 1 , 2 xs ys
0,
1 , 2
иначе
При этом результат действия фильтра приводит к
исходному Фурье-образу
~
F 1 , 2 H 1 , 2 FS 1 , 2 F 1 , 2
13.
Частота НайквистаНижние границы пространственных частот,
при которых возможно сохранение (восстановление)
спектра исходной функции
2 x 0 ,
2 y 0
называются (пространственными) частотами
Найквиста (Котельникова)
14.
Теория дискретизации констатирует, что функцияс ограниченным спектром, дискретизированная
с частотой выше частоты Найквиста, может быть
восстановлена без ошибки с помощью простейшего
(идеального) низкочастотного фильтра
Если же условие не выполняется, т.е.
xs 2 x 0 , ys 2 y 0
то (соседние) Фурье-образы будут накладываться друг
на друга, тем самым искажая исходный спектр
15.
Если область “поддержки” низкочастотного фильтрапредставляет собой прямоугольник
1 1
1
1
xs , xs ys , xs
2 2
2
2
то его импульсный отклик есть произведение SINC-функций
h x, y sin c x xs sin c y ys
16.
Обратное Фурье-преобразование реконструируетизображение по формуле
~
f x, y f m x, n y sin c x xs m sin c y ys n
m ,n
результат будет совпадать с исходной функцией,
если выполняется условие дискретизации
Найквиста-Котельникова
17.
Теорема дискретизацииДвумерная (непрерывная) функция с ограниченным
спектром
f x, y
может быть однозначно (безошибочно) восстановлена
из дискретной
f m x, n y
при условии, что шаги дискретизации выбраны из условия
1
1
xs 2 x 0 ,
ys 2 y 0
x
y
18.
Восстановление функции проводится поинтерполяционной формуле
f x, y
sin x xs m sin y ys n
f m x, n y
m , n
x xs m y ys n
19.
ЗадачаИзображение описывается функцией
f x, y 2 cos 2 3x 4 y
Дискретизация функции проводится
со значениями интервалов дискретизации
x 0.2,
y 0.2
Восстановить функцию после дискретизации
20.
РешениеФурье-образ заданной функции
F 1 , 2 1 3, 2 4 1 3, 2 4
Откуда
x 0 3, y 0 4
Частоты дискретизации
1
xs 5,
x
1
ys 5
y
меньше частоты Найквиста-Котельникова
2 x 0 ,
2 y 0
21.
Найдем спектр дискретизированного изображения:FS 1 , 2 xs ys F 1 k xs , 2 l ys
k ,l
25 1 3 5k , 2 4 5l 1 3 5k , 2 4 5l
k ,l
Применим низкочастотный фильтр
1
1
, 2.5 1 2.5, 2.5 2 2.5
H 1 , 2 xs ys 25
0,
иначе
22.
Получим Фурье-образ~
F 1 , 2 H 1 , 2 FS 1 , 2
1 2, 2 1 1 2, 2 1
который при восстановлении дает функцию
~
f x, y 2 cos 2 2 x y