Электрическое поле в вакууме

1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Теорема Гаусса в вакууме
Поток вектора напряженности электростатического поля
Если линии напряженности идут перпендикулярно поверхности (рис.7),
то поток вектора напряженности электрического поля dФ через эту
поверхность определяется формулой dФ=EdS, если они составляют угол
a с нормалью к поверхности, то d EdS cos a EdS , где dS dS n
(рис.8). Поток вектора Ф через произвольную поверхность S запишется в
виде
E
EdS EdS cosa .
S
S
Рис. 7
Рис. 8
Рассмотрим поток вектора E от точечного заряда q через сферу радиусом
q
q
q
2
R1 (рис.9)
EdS E dS
S
4 r .
2
2
4
r
4
r
0
.
0
0
S
S

2. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Рис.9
Такой же поток (число точек пересечения линий напряженности электрического поля) будет через сферу радиусом R2 и через любую замкнутую
поверхность S без складок, охватывающую этот заряд. Можно показать,
что поток не изменится и через поверхность со складками. Если внутри
замкнутой поверхности находится не один заряд, а несколько зарядов qi , ,
то поток равен сумме потоков их полей через замкнутую поверхность
i
i
q
i
i
0
.
Получена теорема Гаусса, которая формулируется следующим образом:
поток вектора напряженности электростатического поля через замкнутую
поверхность равен сумме зарядов, находящихся внутри объема,

3. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

ограниченного этой поверхностью, деленной на электрическую
постоянную 0 .
Напряженность электростатического поля бесконечной равномерно
заряженной плоскости
Рассмотрим бесконечную равномерно заряженную плоскость. Заряд по
условию распределится по плоскости с поверхностной плотностью s :
s
dq
.
dS Из соображений симметрии задачи вектор напряженности E бу-
дет перпендикулярен плоскости. Выберем замкнутую поверхность в виде
цилиндра с осью перпендикулярно плоскости и основаниями площадью S,
параллельными плоскости и расположенными относительно нее симметрично. Поток вектора напряженности через такую поверхность состоит из
потока через два основания и потока через боковую поверхность цилиндра
(рис. 10). Поток через боковую поверхность равен нулю, поскольку линии
напряженности идут вдоль этой поверхности, не пересекая ее. В силу симметрии задачи напряженность поля во всех точках оснований цилиндра
будет одинаковой и ее можно вынести за знак интеграла.

4. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Рис.10
2 EdS 2E dS 2ESосн .
Sосн
Sосн
Цилиндр вырезает из плоскости площадь, равную площади его основания, заряд которой равен q sSосн . Запишем теперь теорему Гаусса:
sSосн
Ф 2ESосн
.
0
Модуль напряженности электростатического поля оказался не зависящим
от расстояния от плоскости, т.е. поле однородно с напряженностью равной
s
E
.
2 0

5. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Напряженность электростатического поля бесконечной равномерно
заряженной нити
dq
. В силу симЗаряд на нити распределится с линейной плотностью
d
метрии задачи линии напряженности будут идти перпендикулярно нити
(рис. 11). Выберем замкнутую поверхность в виде цилиндра радиусом r,
длиной , площадью основания S и осью симметрии вдоль нити.
Рис.11
Поток вектора напряженности через такую поверхность состоит из потока
через два основания и через боковую поверхность цилиндра. Поток через
основания равен нулю, т.к. линии напряженности их не пересекают.
EdS 2 EdS cos
Sцил
Sосн
EdS cos0 EdS.
2 S
S
бок .пов
бок .пов

6. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

В силу симметрии задачи напряженность поля во всех точках боковой
поверхности будет одинаковой и ее можно вынести за знак интеграла
EdS E dS ES
бок .пов
Sбок .пов
E 2 r .
Sбок .пов
Поверхность цилиндр вырезает участок нити длиной
Записывая теорему Гаусса, получим:
E 2 r
с зарядом q .
, E
.
0
2 0r
Примеры решения задач
Задача 8. Параллельно протяженной плоскости, равномерно
заряженной с поверхностной плотностью заряда s =1 мкКл/м2 расположена длинная нить с линейной плотностью заряда нКл/см. Найдите
силу, с которой электрическое поле плоскости действует на каждый метр
длины нити.
Решение. Будем считать, что электрическое поле создается

7. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

заряженной плоскостью с напряженностью поля E
s
.
2 0
Сила F , которая действует на заряд одного метра заряженной нити равна
Задача 9. На двух длинных параллельных нитях находящихся на
расстоянии r = 18 см равномерно распределены одноименные заряды с
линейными плотностями 1,73 10 –8 Кл/м. Найдите напряженность
электростатического поля в точке, удаленной от первой и от второй нити
на расстояние 18 см.
Решение. Векторы напряженности электростатического поля от
каждой нити (рис. 12) равны E1 E2
и в рассматриваемой точке
2 0 r
направлены вдоль прямых, соединяющих нить с точкой под углом 60° друг
к другу.

8. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Рис.12
Суммарная напряженность равна
E 2
Кл
cos30 3
.
2 0 r
м
Задача 10. Длинный тонкостенный цилиндр равномерно заряжен с
поверхностной плотностью заряда s = 0,177 мкКл/м2. Найдите напряженность электрического поля в точке, находящейся от поверхности цилиндра
на расстоянии в 9 раз большем его радиуса R .
Решение. Заряд цилиндра длиной равенq s 2 R , где
s2 R - линейная плотность заряда, R - радиус цилиндра. Применяя теорему Гаусса, можно показать, что напряженность электростатического поля заряженного цилиндра так же зависит от расстояния r от его оси
(r R) , как напряженность бесконечной равномерно заряженной нити

9. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

. Рассматриваемая точка находится на расстоянии r=10R от оси
2 0 r
s
кВ
E
2
.
цилиндра и напряженность в ней
2 010 R 10 0
м
E
Задача 11. Тонкая прямая длинная нить равномерно заряжена с
линейной плотностью заряда =0,1 мкКл/м. Найдите потенциал поля
нити на расстоянии r=1м от нее, приняв потенциал равным нулю на
расстоянии r0= 50 см от нити.
Решение. Напряженность и потенциал электрического поля
d
связаны соотношением E , откуда d Edr. Подставляя в это
dr
равенство напряженность электрического поля, создаваемого длинной
равномерно заряженной нитью и интегрируя, получим
.
dr
nr C.
2 0 r
2 0
nr0 C 0, откуда
Потенциал обращается в ноль приr r0 :
2 0
C
nr0 и формула для потенциала примет вид
константа
2

10. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

r
n 0 1, 25кВ.
2 0
r
Задача 12. Две большие параллельные плоскости равномерно
заряжены разноименными зарядами с поверхностными плотностями
s1=+10 нКл/м2 и s =−30 нКл/м2. Найдите потенциал электрического поля
2
в точке, находящейся между плоскостями на расстоянии 17,7 мм от
плюсовой пластины, потенциал которой принять равным 1=100 В.
Решение. В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей напряженность электрического поля между плоскостями (рис.
13) равна E p E1 E2 , гдеE1 s1 2 0- напряженность поля первой плоскости, E2 s2 2 0 - напряженность поля, создаваемого второй плоскости. Разность потенциалов и напряженность электростатического поля между
пластинами связаны соотношением
s1 s 2
s1 s 2
1 2 Edr
dr
r,
2 0
2 0
0
0
r
r
Где r - расстояние от от левой пластины
до точки. Потенциал 2 равен
Рис 13

11. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

левой пластины до точки. Потенциал равен
s1 s 2
2 1
r 60 В.
2 0
Задача 13. В одной из вершин квадрата закреплен отрицательный
точечный заряд −20 нКл, а в двух соседних с ней вершинах – положительные точечные заряды по 10 нКл каждый. Найдите, чему равна
сторона квадрата a, если потенциал электрического поля в незанятой
вершине равен 59 В. Потенциал в бесконечности считать равным нулю.
Решение. Отрицательный заряд расположен в вершине квадрата
по диагонали от незанятой вершина и создает в ней потенциал, равный
1
q1
.
4 0 a 2
q2
Два другие заряда создают равные потенциалы 2 4 a .
0
Суммарный потенциал в незанятой вершине равен
2q2
q1
q1
1
2
q
,
2
4 0 a 4 0 a 2 4 0 a
2
q1
1
a
2
q
90см.
2
4 0
2
откуда

12. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Задача 14. Тонкий стержень согнут в кольцо и заряжен с линейной
плотностью заряда 1,77 нКл/м. Найдите потенциал на оси кольца на
расстоянии от его центра, равном диаметру кольца. Потенциал на бесконечности принять равным нулю.
Решение. Бесконечно малый элемент кольца, который можно считать точечным зарядом, создает в рассматриваемой точке потенциал
d
d
, , где R – радиус кольца, h – расстояние по оси от центра
R 2 h2
кольца до точки h=2R. Интегрируя по d , получим
d
2 R
C
C.
4 0 R 5 4 0 R 5
2 0 5
При h , потенциал обращается в 0 и С = 0. Окончательно
2 0 5
44,7 В.
Задача 15. Тонкий диск радиусом R = 10 см равномерно заряжен
с поверхностной плотностью заряда s =17,7 нКл/м2. Найдите потенциал
в центре диска, считая потенциал на бесконечности равным нулю.

13. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

Решение. Выделим на диске бесконечно тонкое кольцо радиусом r
и толщиной dr. Потенциал в его центре равен
d
dq
s2 rdr sdr
.
4 0r
4 0r
2 0
Весь диск создает в центре потенциал
sdr sR
100В.
0 2
2 0
0
R