Радикалы параболических подгрупп

1.

Радикалы параболических подгрупп
Никитина Алина
Самарский университет
Научный руководитель:
А.Н.Панов
1 сентября 2022 г.
Никитина Алина
1 сентября 2022 г.
1/8

2.

Инварианты представлений групп
Определение
Представлением группы G в векторном пространстве V называется
гомоморфизм T : G → GL(V ), то есть, для любого
g ∈ G T (g ) : V → V есть обратимый линейный оператор. Обозначим
T (g ) за Tg .
Никитина Алина
1 сентября 2022 г.
2/8

3.

Определение
Многочлен f ∈ A называют инвариантом на G , если f (Tg x) = f (x)
для любого g ∈ G .
Нетрудно видеть, что множество инвариантов образуют подкольцо в
A, которое мы обозначим AG .
Никитина Алина
1 сентября 2022 г.
3/8

4.

Определение
Рациональную функцию f ∈ F называют инвариантом на G , если для
любого g ∈ G f (Tg x) = f (x).
1 ∗ ∗
.. . .
Пусть G = UT (n, K) = .
. ∗ ,
0 ... 1
0 x12 . . . x1n
0 0 . . . x2n
g = Lie(G ) = .
.
.
..
..
.
..
0 ... ... 0
Теорема
AG = K[x12 , x23 , . . . , xn−1,n ].
Никитина Алина
1 сентября 2022 г.
4/8

5.

Теорема Морозова-Джекобсона
Теорема
Пусть x — нильпотентный элемент алгебры Ли sl(n, K). Тогда
существуют такие полпупростой и нильпотентный элементы h и y
соответственно, что [h, x] = 2x, [h, y ] = −2y , [x, y ] = h.
Никитина Алина
1 сентября 2022 г.
5/8

6.

Инварианты параболических групп
Определение
Множество S ⊂ ∆+
u будем называть базой, если выполняется:
1) S — расстановка ладей.
+
2) Для любого корня γ ∈ ∆+
u существует ξ ∈ S такой, что γ − ξ ∈ ∆l .
Определение
Пусть ξ = (a1 , a2 ), ξ ′ = (a3 , a4 ) ∈ S. Назовём их допустимой парой,
если существует η = (a2 , a3 ) ∈ ∆+
u . Множество, состоящее из
допустимых пар, обозначим Q. Множество корней вида {η + ξ ′ }
обозначим Φ.
Никитина Алина
1 сентября 2022 г.
6/8

7.

Инварианты параболических групп
Будем рассматривать формальную матрицу X = (xij ), где xij = 0 при
(i, j) ∈
/ M. Каждому γ = (p, t) ∈ ∆+ поставим в соответствие
множество {ξ = (i, j) ∈ S | i > p, j < t}. То есть для каждого элемента
определим набор корней из S, лежащих левее и ниже данного. Пусть
для γ = (p, t) это множество состоит из ξ1 = (i1 , j1 ), ..., ξk = (ik , jk ).
Тогда существует минор Mγ — определитель, состоящий из элементов,
расположенных на пересечении выбранных строк p, i1 , . . . , ik и
′
столбцов j1 , . . . , jk , t. Далее по каждой
P допустимой паре q = (ξ, ξ )
Mξ+η1 Mη2 +ξ′ , где η —
построим другой многочлен Lq =
η1 +η2 =η
соответствующий допустимой паре корень, η1 , η2 ∈ ∆+ ∪{0} .
Утверждение
Многочлены Mγ , γ ∈ S и Lq , q ∈ Q содержатся в AN .
Никитина Алина
1 сентября 2022 г.
7/8

8.

Гипотеза
Поле инвариантов F N совпадает с полем рациональных функций от
многочленов Mξ и Lq .
Никитина Алина
1 сентября 2022 г.
8/8