Закон Кулона. Напряженность электростатического поля

1. Закон Кулона.

Напряженность
электростатического
поля

2.

1.(9.13) Два точечных заряда q1=7,5 нКл и q2=–14,7 нКл расположены на
расстоянии r=5 см друг от друга. Найти напряженность E электрического
поля в точке, находящейся на расстоянии a=3 см от положительного заряда
и b=4 см от отрицательного заряда.
E 0 E1 E 2 ,
Дано
E0
q1=7,5 нКл
q2=–14,7 нКл
r=5 см
a=3 см
b=4 см
E2
E 0 E12 E 22
E=?
1
E0
4 0
2 2
E1 E 2
E1
q12
a
4
kq 1
a
2
E2
kq 2
b2
E1
E0
q 22
b4
1
E0
4 3,14 8,85 10 12
(7,5 10 9 ) 2 (14,7 10 9 ) 2
3
112
10
кВ / м
4 4
2 4
(3 10 )
(4 10 )

3.

2.(9.15) Два металлических шарика одинакового радиуса и массы подвешены в
одной точке на нитях одинаковой длины так, что их поверхности соприкасаются.
Какой заряд Q нужно сообщить шарикам, чтобы сила натяжения нитей стала
равной T=98 мН? Расстояние от центра шарика до точки подвеса равно l=10 см,
масса каждого шарика m=5 г.
Дано
T=98 мН
l=10 см,
m=5 г.
Q=?
mg T Fk 0,
T cos mg 0
Fk T sin 0
T sin Fk
mg
cos
T
2
(Q / 2 )
Fk k
,
2
r
Fk T
mg
r 2 sin

4.

Q
sin 3
4 016T
k
2
16T
2
mq
sin 1
T
2
sin 3
2
mg
Q 8 T 0 1
T
3/2
2
3
5
10
9
,
8
12
3
Q 8 0,1 3,14 8,85 10 98 10 1
9,8 10 3
Ответ: Q=1,1 мкКл.
3/2

5.

3.(9.19) К вертикально расположенной бесконечной однородно заряженной
плоскости прикреплена нить, на другом конце которой расположен
одноименно заряженный шарик массой m=40 мг и зарядом q=31,8 нКл. Сила
натяжения нити, на которой висит шарик, T=0,5 мН. Найти поверхностную
плотность заряда на плоскости. Диэлектрическая проницаемость среды, в
которой находится заряд =6. Ускорение свободного падения g=10 м/с2.
Дано
m=40 мг
q=31,8 нКл
T=0,5 мН
=6
g=10 м/с2
=?
mg T Fk 0,
T cos mg 0
Fэл T sin 0
mg
cos
T
T sin Fэл
Fэл
T
mg

6.

E
2 0
Fэл = qE
Fэл
q
T sin .
2 0
2
mg
sin 1
T
Fk
2
2 0T sin 2 0T
2 0
mg
1
T 2 ( mg )2
q
q
q
T
2 6 8,85 10
12
0,5 10
31,8 10 9
3
2
40 10 6 10
1
0,5 10 3
Ответ: =1 10-6 Кл/м2.
T
mg

7.

4.(9.20) Найти силу F, действующую на заряд q=0,66 нКл, если заряд
помещен: а) на расстоянии r1=2 см от длинной однородно заряженной нити
с линейной плотностью заряда =0,2 мкКл/м; б) в поле однородно
заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда =20 мкКл/м2; в)
на расстоянии r2=2 см от поверхности однородно заряженного шара
радиусом R=2 см и поверхностной плотностью заряда =20 мкКл/м2.
Диэлектрическая проницаемость среды =6.
Дано
а)
q=0,66 нКл
r1=2 см
=0,2 мкКл/м
=6
F=?
q
F1 qE1
E1
2 0 r1
0,66 10 9 0,2 10 6
6
F1
19,7
10
Н
12
12
2 0 r1 2 3,14 6 8,85 10 6 2 10

8.

E
2 o
Дано
б)
q=0,66 нКл
=20 мкКл/м2
=6
2 o
F2 qE2
F=?
E2
2 0
q
0,66 10 20 10
F2
12
2 0
2 6 8,85 10
9
6
124 Н
x

9.

F3 qE3
Дано
Е
в)
q=0,66 нКл
=20 мкКл/м2
r2=2 см
R=2 см
=6
F=?
Qш
E3
4 0 ( R r2 ) 2
Q
4 0 R 2
R
r
Qш 4 R 2
q R 2
F3
.
2
0 ( R r2 )
0, 66 10 9 20 10 6 (2 10 2 )2
6
F3
62
10
Í
12
2
2 2
6 8,85 10 (2 10 2 10 )
Ответ: а) F1=20мкН; б) F2=126мкН; в) F3=62,8 мкН.

10.

5.(9.23) С какой силой Fl электрическое поле бесконечной однородно
заряженной плоскости действует на единицу длины однородно заряженной
бесконечно длинной нити, помещенной в это поле? Линейная плотность заряда
на нити =3 мкКл/м и поверхностная плотность заряда на плоскости =20
мкКл/м2.
Дано
=3 мкКл/м =20
мкКл/м2.
F=?
F qE ,
E
2 0
6
q
F
2 0
6
3 10 1 20 10
Н
F
3,4
12
12
м
2 8,85 10 10
Ответ: Fl=3,4 Н/м.

11.

6.(9.26) С какой силой Fs на единицу площади отталкиваются
две одноименные однородно заряженные бесконечно
протяженные плоскости. Поверхностная плотность заряда на
плоскостях =0,3 мкКл/м2.
F q1E2
Дано
=0,3 мкКл/м2
F=?
S
F
2 0
2
q1 1S
1 2 ,
2
E2
2 0
1S 2
F
,
2 0
(0,3 10 6 )2 1
3
F
5,1 10 Н
12
2 8,85 10
Ответ: Fs=5,1 кН/м2.

12.

7.(9.29) Показать, что электрическое поле, образованное однородно
заряженной нитью конечной длины, в предельных случаях
переходит в электрическое поле: а) бесконечно длинной
заряженной нити; б) точечного заряда.
E dEi
dE
yi
0
i
E Exi
dExi dEi cos i
dl cos
dE
2
4 0 r

13.

dr
cos
dE cos 2
4 0 r
dr r d
r
dE
d
2
4 0 r
dE
d
4 0 r
cos
dE
d
2 0 x
cos
E 2
d
4 0 x
0
2

14.

7.(9.29) Показать, что электрическое поле, образованное однородно
заряженной нитью конечной длины, в предельных случаях переходит в
электрическое поле: а) бесконечно длинной заряженной нити;
б) точечного заряда.
/ 2 x
E
2 0 x
sin
E
2 0 x
sin
/2
2
4
E
2 0 a
x
x / 2
2
q
/2
2
4
x
2
E
q
4 0 x
2

15.

8. Длина однородно заряженной нити l=25 см. При каком предельном
расстоянии a от нити по нормали к ее середине возбуждаемое ею
электрическое поле можно рассматривать как поле бесконечно
длинной заряженной нити? Ошибка при таком допущении не должна
превышать 0,05. Указание: допускаемая ошибка равна (E2–E1)/E2,
где E2 – напряженность электрического поля бесконечно длинной
нити, E1 – напряженность поля нити конечной длины.
Дано
l=25 см
= 0,05
a=?
E2
2 0 a
sin
E1
2 0 a
E 2 E1
.
E2

16.

E2 E1
1 sin 1
E2
1
4a 2
2
2
(1 )
2
4a
2
2
2
2
1
a
2
2 (1 )
2
2
2
,
4a 2
4a 2
,
1
(1 ) (
2
2
4a )
1
a
1
2
2 (1 )
0,25
1
a
1 0,041
2
2
(1 0,05)
Ответ: a=4,1 см.
2

17.

9.(9.33) Напряженность электрического поля на оси однородно заряженного
кольца имеет максимальное значение на некотором расстоянии от центра
кольца. Во сколько раз напряженность электрического поля в точке,
расположенной на половине этого расстояния, будет меньше максимального
значения напряженности?
E Exi
Дано
E ( L) Emax
EL
?
E0,5 L
dE
yi
0
i
dExi dEi cos
dq cos
E dE
2
4 0 r
q cos
E
4 0 r 2
qx
E
4 0 ( R 2 x 2 )3 / 2
dE ( x)
0
dx

18.

dE ( x) 4 0 q[( R x ) 3/ 2( R x ) 2 x x]
2
2
2 3
dx
(4 0 ) ( R x )
2
(R x )
2
2 3/ 2
2 3/ 2
2
3 2
2 1/ 2
2
(R x ) 2x 0
2
R
x
2
( R x ) 3x 0
2
2
2 1/ 2
2
E (0,5 x)
q
R/2 2
4 0 2 R 2
R
8
3/ 2
.
Ex
R 2( R 2 R 2 /8)3 / 2
2(1 1/8)3 / 2
2
1,3
3/ 2
2
3/ 2
E0,5 x ( R R / 2) R / 2 2 (1 1/ 2)

19.

10. По четверти кольца радиусом r=6,1 см однородно распределен
отрицательный заряд с линейной плотностью =64 нКл/м. Найти силу F,
действующую на заряд q=12 нКл, расположенный в центре кольца.
F qE 0
Дано
r=6,1 см
=64 нКл/м
q=12 нКл
F=?
dE
yi
0
i
Eo dExi cos i
dq
rd
dEx
cos
cos
2
2
4 0 r
4 0 r
dq dl rd

20.

dq dl rd
/4
/4
0
0
E0 2 dEx 2
rd
2
cos
2
4 0 r
4 0 r
sin
2 0 r
9
/4
0
/4
cos d
0
sin / 4.
2 0 r
9
12 10 64 10 2 / 2
F qE 0
161
12
2
2 3,14 8,85 10 6,1 10
Ответ: F = 161 мкН.

21.

Напряженность поля заряженной сферы
.
11.
Напряженность
электрического
поля,
создаваемого металлической сферой радиусом R,
несущей заряд Q, на расстоянии r от центра сферы:
внутри сферы (r<R):
E=0;
E
на поверхности сферы (r=R):
вне сферы (r>R):
Q
4 0 R 2
Q
E
4 0 r 2
Получите данные соотношения.

22.

Применение теоремы О.-Г. к расчету полей заряженных тел.
Заряженная равномерно по поверхности сфера.
Q
Q
q
Ф
(
EdS
)
Е
0
2
S
4 R
S
Поверхность сферы
разделяет все
пространство на две
части: внутреннюю (r < R)
и внешнюю (r ≥ R ).
Q 0
r<R
ФЕ ES
E 4 r
2
1
E 0
0
0

23.

Применение теоремы О.-Г. к расчету полей заряженных тел.
Заряженная равномерно по поверхности сфера.
r R
Q 4 R
ФE 4 r E
2
4 R
o
2
Q
o
2
4 R
R
E
.
2
2
2
4 0r2
4 0r2
0r2
Q
2
2