Представление чисел. Машинная арифметика. Представление команд

1. Теоретические основы компьютера

Представление чисел
Машинная арифметика
Представление команд

2.

Системы счисления. Перевод десятичных
чисел из одной системы счисления в другую
и обратно
Системы счисления. Виды систем счисления.
Перевод десятичных чисел из десятичной системы
счисления в любую другую и обратно.
Перевод целых чисел из десятичной системы счисления
с помощью приложения Калькулятор в двоичную,
восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления.
Перевод целых чисел из десятичной системы счисления
с помощью приложения Excel в двоичную,
восьмеричную, шестнадцатеричную системы счисления,
используя общий метод перевода.

3.

Основные понятия темы
Цифра - это символ, используемый в записи числа.
12
двенадцать
ХII
- различные способы записи одного числа
- значение числа остается неизменным
Система счисления - это способ записи (изображения) чисел.
Алфавит системы счисления - это множество всех символов (знаков),
используемых для записи чисел в данной системе счисления.
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - алфавит десятичной позиционной системы счисления
I, V, X, L, C, D, M - алфавит римской непозиционной системы счисления

4.

Виды систем счисления
Системы счисления
Непозиционные системы счисления
Позиционные системы счисления
Непозиционные системы счисления - системы счисления, в которых от
положения знака в записи числа не зависит величина, которую он обозначает.
Позиционные системы счисления - системы счисления, в которых величина,
обозначаемая цифрой в записи числа зависит от ее позиции.

5.

Непозиционные системы счисления
Примером непозиционной системы счисления является система счисления
Древнего Египта.
Ее алфавитом служили следующие знаки:
Пример числа, записанного в системе
счисления Древнего Египта:
Другой пример непозиционной системы счисления - римская система счисления.
В ее основе лежали знаки:
I
V
X
L
C
D
M
1
5
10
50
100
500
1000
Пример числа, записанного в римской системе счисления: X X I Х
От положения знака в записи
числа не зависит величина,
которую он обозначает
10 + 10 + 9
= 29

6.

Число в позиционной системе счисления
Привычная нам десятичная система является позиционной системой счисления:
Цифры 5, находящиеся на разных позициях, имеют различные количественные значения .
155255 =
1 · 105 + 5 · 104 + 5 · 103 + 2 ·102 + 5 · 101 + 5 · 100
сотни
десятки
единицы
тысячи
десятки тысяч
сотни тысяч
Основание позиционной системы счисления - целое число, которое возводится в
степень.
10 - основание десятичной позиционной системы счисления.
Базис позиционной системы счисления - последовательность чисел,
каждое из которых определяет количественный эквивалент (вес) символа в
зависимости от его места в записи числа.
101, 102, 103, 104, … , 10n, … - базис десятичной позиционной системы
счисления.

7.

Представление числа в системе счисления
155255 = 1 ·105 + 5 ·104 + 5 ·103 + 2 ·102 + 5 ·101 + 5 ·100
2534,65 = 2 ·103 + 5 ·102 + 3 ·101 + 4 ·100 + 6 ·10-1 + 5 ·10-2
Формула представления числа
Хb = an · bп + … + a0 · b0 + a-1 · b-1 + ...
Пример представления числа
в 10-тичной системе счисления:
Пример представления числа
в 2-ичной системе счисления:
6110 = 6 ·101 + 1 ·100
3420,57610 = 3 ·103 + 4 ·102 + 2 ·101 + 0 ·100 +
+ 5 ·10-1 + 7 ·10-2 + 6 ·10-3
3420,57610 = 3 ·103 + 4 ·102 + 2 ·101 + 0 ·100 +
+ 5 ·10-1 + 7 ·10-2 + 6 ·10-3
1111012 = 1 ·25 + 1 ·24 + 1 ·23 + 1 ·22 + 0 ·21 + 1 ·20 =
32 + 16 + 8 + 4 + 1 = 6110
111,0112= 1 ·22 + 1 ·21 + 1 ·20 + 0 ·2-1 +
+ 1 ·2-2 + 1 ·2-3
Пример представления числа
в 16-ричной системе счисления:
3D16 = 3 ·161 + 13 ·160
A32D,2E16 = 10 ·163 + 3 ·162 + 2 ·161 + 13 ·160 +
+ 2 ·16-1 + 14 ·16-2

8.

Примеры позиционных систем счисления
Десятичная система счисления
десятичная
система
счисления
базис:
10-2, 10-1
100, 101, 102, …, 10п,...
Двоичная система счисления
...10-п,…,
основание:
число 10
двоичная
система
счисления
базис:
...2-п,... 2-2, 2-1
20, 2, 22, …, 2п,…
основание:
число 2
Пример записи числа в системе счисления :
=
1111012
6110

9.

Примеры позиционных систем счисления
Десятичная система счисления
десятичная
система
счисления
Шестнадцатиричная система счисления
базис:
10-2, 10-1
100, 101, 102, …, 10п,...
...10-п,…,
16 - ричная
система
счисления
базис:
16-2, 16-1
160, 161, 162, …, 16п,...
...16-п,…,
основание:
число 10
основание:
число 16
Пример записи числа в системе счисления :
6110
=
3D16

10.

Перевод десятичного числа 2359,407 в
двоичное
Нахождение целой части числа
(деление на 2)
Нахождение дробной части числа
(умножение на 2)
407
2
814
2
628
2
256
2
512
2
024
2
048
2
096
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
Целая часть : 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1
Порядок записи целых чисел
2359
1179
589
294
147
73
36
18
9
4
2
1
Порядок записи остатков
0
1
1
0
1
0
0
Дробная часть : 0 1 1 0 1 0 0
2359,407 = 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1, 0 1 1 0 1 0 02

11.

Использование калькулятора
при переводе чисел из одной системы счисления в другую
Режим работы в десятичной системе счисления 6110
Режим работы в двоичной системе счисления 1111012
Режим работы в восьмеричной системе счисления 758
Режим работы в шестнадцатиричной системе счисления 3D16

12.

Двоичная арифметика
Первые девять чисел двоичной системы счисления
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
10
11
100
110
110
111
1000
Таблица сложения
+
0
1
0
0
1
1
1
102
11001
0012
+ 11010
010
2
1 0 01 1
1011
– 111 2
2
10 0
1
Таблица умножения
0
1
0
0
0
1
0
1
11011
0112
1101
12
+ 1 011
1011
1 10 1 11
– 111102 1102
110
10 1
– 110
110
0

13.

Перевод чисел из двоичной системы счисления в
восьмеричную и шестнадцатеричную
Алгоритмы, описанные ниже, могут применяться при переводе
чисел между системами счисления, основания которых
являются степенями числа 2.
Такие алгоритмы могут применяться для перевода чисел
между двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной
системами счисления.
Для записи двоичных чисел используются две цифры, т.е. в каждом
разряде числа возможны два варианта записи.
Каждый разряд двоичного числа содержит 1 бит.
Для записи восьмеричных чисел используются восемь цифр, т.е. в
каждом разряде числа возможны восемь вариантов записи.
Каждый разряд восьмеричного числа содержит 3 бита.
Для записи шестнадцатеричных чисел используются шестнадцать
цифр, т.е. в каждом разряде числа возможны шестнадцать
вариантов записи.
Каждый разряд шестнадцатеричного числа содержит 4 бита.

14.

Для перевода дробного двоичного
числа в восьмеричное нужно:
Запись числа разбить слева направо на триады (если в последней
правой группе окажется меньше, чем три разряда, то необходимо её
дополнить справа нулями)
Преобразовать каждую триаду в восьмеричную цифру
Переведём таким образом двоичное число 0,1101012 в восьмеричное:
Двоичные триады
Восьмеричные цифры
Получаем 0,1101012 = 0,658
101
110
5
6

15.

Для перевода целого двоичного числа
в шестнадцатеричное нужно:
Разбить его на группы по четыре цифры (тетрады), справа налево
(если в последней левой группе окажется меньше, чем четыре
разряда, то необходимо её дополнить слева нулями)
Преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру
Переведём таким образом двоичное число 1010012 в шестнадцатеричное:
Двоичные тетрады
Шестнадцатеричные цифры
Получаем 1010012 = 2916
0010
1001
2
9

16.

Для перевода дробного двоичного
числа в шестнадцатеричное нужно:
Разбить его на тетрады, слева направо (если в последней
правой группе окажется меньше, чем четыре разряда, то
необходимо её дополнить справа нулями)
Преобразовать каждую группу в шестнадцатеричную цифру,
воспользовавшись для этого предварительно составленной
таблицей соответствия двоичных тетрад и шестнадцатеричных
цифр
Переведём таким образом дробное двоичное число 0,1101012 в
шестнадцатеричную систему счисления:
Двоичные тетрады
Шестнадцатеричные цифры
Получаем 0,1101012 = 0,D416
1101
0100
D (14)
4

17.

Перевод чисел из восьмеричной и
шестнадцатеричной систем в двоичную:
для перевода из восьмеричной системы в двоичную каждую
цифру числа надо преобразовать в триаду
для перевода из шестнадцатеричной системы в двоичную
каждую цифру числа надо преобразовать в тетраду
Переведём дробное восьмеричное число 0,478 в двоичную систему
счисления:
Восьмеричные цифры
4
7
Двоичные триады
100
111
Получаем 0,478 = 0,1001112
Переведём целое шестнадцатеричное число АВ1616 в двоичную
систему счисления:
Шестнадцатеричные цифры
Двоичные тетрады
Получаем АВ1616 = 101010112
А
В
1010
1011

18.

Для перевода целого двоичного числа в
восьмеричное нужно:
Разбить его на группы по три цифры, справа налево (если в
последней левой группе окажется меньше, чем три разряда, то
необходимо её дополнить слева нулями)
Преобразовать каждую группу в восьмеричную цифру
Переведём таким образом двоичное число 1010012 в восьмеричное:
101 001 2
=
518
Для упрощения перевода можно заранее подготовить таблицу
преобразования двоичных триад (групп по три цифры) в
восьмеричные цифры.
Двоичные триады
Восьмеричные цифры
000
001
010
011
100
101
110
111
0
1
2
3
4
5
6
7

19.

Использование калькулятора
при переводе чисел из одной системы счисления в
другую
ПРИМЕР
Перевести число 2359 из десятичной системы счисления в шестнадцатиричную при помощи
калькулятора
Выбираем режим работы в той системе, в которой дано число ( десятичная система);
Набираем число, с которым хотим работать (2359);
Переключаемся в режим работы системы счисления, в которой требуется получить ответ
(шестнадцатиричная система) и получаем результат.