Уравнение с двумя переменными. Диофантовы уравнения

1. Уравнение с двумя переменными. Диофантовы уравнения.

Большинство жизненных задач
решаются как алгебраические
уравнения: приведением их к самому
простому виду.
Л.Н.Толстой

2. Диофант Александрийский.

О подробностях его жизни
практически
ничего
не
известно. Полагают, что он
жил в III в.н.э.
Из работ Диофанта самой
важной
является
«Арифметика» (из 13 книг
сохранилось только 6).
В сохранившихся книгах
содержится 189 задач с
решениями.

3. Надгробная надпись на могиле Диофанта

4.

Ответ:
(1; 5)

5.

Простейшие диофантовы уравнения
ax + by = c,
a ≠ 0; b ≠ 0
Если с = 0, то х = 0, у = 0.
Если с ≠ 0, и решение (х0 ; у0 ), то целое число
ax0 + by0 делится на d = (a ; b), поэтому с так же
должно делиться на общий делитель a и b.
Например:
3х + 6у = 5
не имеет целых решений, так как d(3; 6) = 3, а
с = 5 не делится на 3 без остатка.

6.

Если уравнение ax + by = c
имеет решение (х0 ; у0 ), и d (a ; b) = 1, то все
решения уравнения задаются формулами
х = х0 + bn;
y = у0 – an,
где n - любое целое решение.
Например:
3х + 5у = 13, d(3; 5) = 1,
значит уравнение имеет бесконечно
много решений,
х0 =1; у0 =2
x = 1 +5n
y = 2 – 3n

7. Найти два квадрата, сумма которых также является квадратом.

Все такие тройки чисел , удовлетворяющие
данному уравнению
называют «пифагоровыми» числами.
3, 4, 5;
5, 12, 13; 10, 24, 26; ...

8. Найти два куба, сумма которых также является кубом.

9. Великая теорема Ферма.

Ферма Пьер (1601—1665),
французский математик. Одна
из самых
популярных теорем
математики.
Доказательство
теоремы искали многие
математики более трёхсот
лет. Окончательно
доказана в 1995 году
Эндрю Уайлсом.

10.

11.

x y xy
xy x y 1 1
x 1 y 1 1
x 2, y 2
x 0, y 0

12.

2. Решите в целых числах уравнение:
3х² + 4ху – 7у²= 13.
Решение:
3х² - 3ху + 7ху – 7у²= 13,
3х(х – у) +7у(х – у) = 13,
(х – у)(3х + 7у) = 13
Так как 13 имеет целые делители ±1 и ±13,
то уравнение равносильно совокупности систем:
х у 1,
1.
3х 7 у 13
3.
х у 13,
2.
3х 7 у 1
х у 13,
4.
3х 7 у 1
х у 1,
3х 7 у 13

13.

Решим первую систему (методом сложения)
х у 1,
∙( - 3 )
3х 7 у 13
3х 3 у 3,
+
3х 7 у 13
х 1 1,
10 у 10,
х 2
у 1
(2; 1) - целочисленное решение уравнения
х у 13,
3х 7 у 1
∙( - 3 )
3х 3 у 39,
3х 7 у 1
10 у 38,
х 3,8 13,
у 3,8
х 9,2
Но (9,2 ; - 3,8) не является целочисленным решением
Две другие системы решите самостоятельно !

14.

• Домашнее задание:
• П.1.10
• № 1.101(б), 1.106(в,д)