Свойства делимости

1. Свойства делимости

2. Делитель натуральных чисел

• Делителем натурального числа а называют
натуральное число на которое а делится без
остатка.
• 18 делится на 1, 2, 3, 6, 9, 18 без остатка поэтому
1, 2, 3, 6, 9, 18 – делители числа 18.
• 15 делится на 1, 3, 5, 15 без остатка поэтому 1, 3,
5, 15 делители числа 15.
• 7 делится на 1, 7 без остатка поэтому 1 и 7 –
делители числа 7.
• Число 1 является делителем любого
натурального числа.
• Наибольший делитель данного натурального
числа равен самому числу.

3. Кратное натуральных чисел

• Кратным натурального числа b называют
натуральное число, которое делится на b без
остатка.
• 5, 10, 15, 20, 25… - кратные числу 5, т.к. они
делятся на 5 без остатка.
• 13, 26, 39, 52… - кратные числу 13, т.к. они
делятся на 13 без остатка.
• Любое натуральное число имеет бесконечно
много кратных.
• Чтобы получить кратное данному числу надо это
число умножить на какое-нибудь натуральное
число.
• Наименьшее кратное данного натурального
числа равно самому числу.

4. Делимость суммы на натуральное число

• Если каждое из слагаемых делится на
натуральное число, то и сумма делится
на натуральное число.
• ( а + b) : с = а : с + b : с
• Например:
• (12 + 60) : 12 = 12 : 12 + 60 : 12 = 1 + 5 = 6
• (49а + 35с + 77) : 7 = 49а : 7 + 35с : 7 + 77 : 7 = 7а +
5с + 11
• Можно не писать
• (48 + 32) : 8 = 48 : 8 + 32 : 8 = 6 + 4 = 10
• (52 + 26 + 39):13 = 52 : 13 + 26 : 13 + 39 : 13 =
4+2+3=9

5. Выполнить деление суммы на натуральное число

( а + b) : с = а : с + b : с
(21 + 56) : 7 =
(81 + 36) : 9 =
(66 + 176) : 11 =
(33 + 209) : 11 =
(24х + 6х) : 3 =
(34х + 17х + 68) : 17 =
(104х + 26х + 39х) : 13 =
(100+50):25=

6. Домашняя работа

Вычислить, используя формулу
( а + b) : с = а : с + b : с
(342 * 132) : 171 =
(721 + 567) : 7 =
(12 * 84) : 21 =
(217 + 56) : 7 =
(651 * 11) : 21 =
(126 + 63) : 7 =

7. Делимость произведения на натуральное число

• Если один из множителей делится на
натуральное число, то и произведение
делится на натуральное число.
( а * b) : с = ( а : с) * b = а * ( b : с)
Например:
• (65 * 52) : 13 = 65 : 13 * 52 = 5 * 52 = 260
• (65а * 130) : 13 = 65а : 13 * 130 = 5а *130 =650а

8. Разделить произведение на натуральное число

( а * b) : с = ( а : с) * b = а * ( b : с)
(42 * 132) : 21 =
(63 * 92) : 46 =
(86 * 132) : 66 =
(412 * 84) : 21 =
(30 * 143 ) : 11 =
(420 * 332) : 210 =
(174 * 52) : 26 =

9. Проверь себя.

Вычислить, используя удобный способ.
(342 * 132) : 171 = 342 : 171 * 132 = 264
(721+567) :7 = 721 : 7 + 567 : 7 =103 +81 =184
(12 * 84) : 21 = 84 : 21 * 12 = 48
(217 + 56) : 7 = 217 : 7 + 56 : 7 = 31+ 8 = 49
(651 * 11) : 21 = 651 : 21 * 11 = 31 * 11 = 341
(126 + 63) : 7 = 126 : 7 + 63 : 7 =18 + 9 = 27

10. Вопросы урока

• Какое число мы называем делителем?
• Назовите самый большой и самый маленький
делитель данного числа
• Какое число мы называем кратным?
• Назовите самое большое и самое маленькое
кратное данного числа
• Как разделить сумму на число?
• Когда произведение делится на число?

11. Ответь на вопросы

Какое число называют делителем?
Какое число называют кратным?
Когда сумма делится на число + формула?
Когда произведение делится на число +
формула?
• Выпиши все делители числа 126
• Вычисли:
(21 + 63) : 3 =
(72 + 18) : 9 =
(22 + 121) : 11 =
(34х + 17х + 68) : 17 =

12. Задание:

Запишите, какие из чисел
42, 66, 1020, 115, 1750, 232, 150, 515, 240, 909, 212, 101,
171, 306, 327
делятся без остатка:
а) на 2; б) на 5; в) на 10. г) на 4
д) на 25, е) на 6, ж) на 3, з) на 9
• Придумай трехзначное число, которое:
а) делится на 3 и на 5,, но не делится на 10
б) делится на 9 и 10, но не делится на 25
в) делится на 2 и на 9, но не делится на 5
г) не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 9

13. Ответь на вопросы

• Какое число называют делителем?
• Делителем натурального числа а называют
натуральное число на которое а делится без
остатка.
• Какое число называют кратным?
• Кратным натурального числа b называют
натуральное число, которое делится на b без
остатка.
• Когда сумма делится на число?
• Если каждое из слагаемых делится на
натуральное число, то и сумма делится на
натуральное число.
• Когда произведение делится на число?
• Если один из множителей делится на
натуральное число, то и произведение делится на
натуральное число.

14. Признаки делимости на 2,5,10

• Все натуральные числа запись
которых оканчивается четной
цифрой делится на 2.
• Все натуральные числа запись
которых оканчивается цифрой 5
или цифрой 0 делится на 5.
• Все натуральные числа запись
которых оканчивается цифрой 0
делится на 10.

15. Признаки делимости на 3 и 9

• Если сумма цифр делится на 3, то и само число
делится на 3.
• 522 делится на 3 так как 5 + 2 + 2 = 9, а 9 : 3 = 3
• 8136 делится на 3 так как 8 + 1 + 3 + 6 = 18, а 18
делится на 3
• Если сумма цифр делится на 9, то и само число
делится на 9.
• 1728 делится на 9, т.к. 1 + 7 + 2 + 8 = 18, а 18
делится на 9
• 8748 делится на 9, т.к. 8 + 7 + 4 + 8 = 27, а 27
делится на 9

16. Ответь на вопросы

• Когда число делится на 2?
• Все натуральные числа запись которых
оканчивается четной цифрой делится на 2.
• Когда число делится на 3?
Если сумма цифр делится на 3, то и само число
делится на 3.
Когда число делится на 5?
Все натуральные числа запись которых оканчивается
цифрой 5 или цифрой 0 делится на 5.
Когда число делится на 9?
Если сумма цифр делится на 9, то и само число
делится на 9.
Когда число делится на 10?
Все натуральные числа запись которых оканчивается
цифрой 0 делится на 10.

17. Простые и составные числа

4 делится на – 1, 2, 4.
6 делится на – 1, 2, 3, 6.
8 делится на – 1, 2, 4, 8.
9 делится на – 1, 3, 9.
10 делится на – 1, 2, 5, 10.
12 делится на – 1, 2, 3, 4, 6, 12.
14 делится на – 1, 2, 7, 14.
15 делится на – 1, 3, 5, 15.
16 делится на – 1, 2, 4, 8, 16.
18 делится на – 1, 2, 3, 6, 9, 18.
20 делится на – 1, 2, 4, 5, 10, 20.
2 делится на – 1, 2.
3 делится на – 1, 3.
5 делится на – 1, 5.
7 делится на – 1, 7.
11 делится на – 1, 11.
13 делится на – 1, 13.
17 делится на – 1, 17.
19 делится на – 1, 19.
23 делится на – 1, 23.
29 делится на – 1, 29.
31 делится на – 1, 31.

18. Простые и составные числа

• Натуральные числа, которые имеют
больше двух различных делителей,
называют составными.
• Натуральные числа, которые делятся
только на 1 и на себя, то есть имеют
только два делителя, называют
простыми числами.
• Число 1 не является простым числом, так
как оно имеет только один делитель.

19. Вопросы урока

• Какие числа называют простыми?
• Натуральные числа, которые делятся
только на 1 и на себя, то есть имеют
только два делителя, называют
простыми числами.
• Какие числа называют составными?
• Натуральные числа, которые имеют
больше двух различных делителей,
называют составными.
• Число 1 – это простое или составное число?
• Число 1 не является ни простым ни
составным числом

20. Разложение составных чисел на простые множители

• 2376 : 2
• 1188 : 2
• 594 : 2
• 297 : 3
99 : 3
33 : 3
11 : 11
1
• 2376=23*33*11
• 6885 : 3
• 2295 : 3
• 765 : 3
• 255 : 3
85 : 5
19 : 19
1
• 6885 = 34*5*19

21. Наибольший общий делитель.

Наибольшим общим делителем
нескольких натуральных чисел
называется наибольшее натуральное
число на которое данные числа делятся
без остатка.
Например:
57 делится на 1, 3, 19, 57
114 делится на 1, 2 ,3 ,6, 19, 57, 114
342 делится на 1, 2, 3, 6, 19, 57, 114, 342
НОД(57, 114, 342) = 57

22. Взаимно простые числа.

• Числа называются взаимно
простые, если их наибольший
общий делитель равен 1.
Например:
34 делится на 1, 2, 17, 34
46 делится на 1, 2, 23, 46
НОД(34, 46) = 1

23. Как найти НОД?

1.
2.
3.
Чтобы найти НОД для данных чисел
надо
Разложить числа на простые
множители
Выбрать множители которые есть в
разложении каждого числа
Перемножить выбранные множители.
Произведение общих множителей и
будет наибольшим общим делителем
для данных чисел.

24. Найти НОД(237, 688)

• 238 : 2
• 119 : 7
• 17 : 17
1
• 688 : 2
• 344 : 2
• 172 : 2
• 86 : 2
• 43 : 43
1
• НОД(238, 688) = 2

25. Найти НОД(186, 124)

• 186 : 2
• 93 : 3
• 31 : 31
1
• 124 : 2
• 62 : 2
• 31 : 31
1
• НОД(186, 124) = 2 * 31 = 62

26. Найти НОД(2376, 6885)

• 2376 : 2
• 1188 : 2
• 594 : 2
• 297 : 3
99 : 3
33 : 3
11 : 11
1
• 6885 : 3
• 2295 : 3
• 765 : 3
• 255 : 3
85 : 5
19 : 19
1
• НОД(2376, 6885) = 3 * 3 * 3 = 27

27. Класная работа

1.
2.
3.
4.
5.
6.
НОД(78, 195) =
НОД(35, 18) =
НОД(36, 54, 72) =
НОД(231, 273) =
НОД( 49, 48) =
НОД(50, 75, 60) =
7.
8.
9.
10.
НОД (520, 468) =
НОД (814, 4440) =
НОД (855, 11400) =
НОД (40, 100, 180) =
1.
2.
3.
4.
5.
6.
НОК (12,30)=
НОК (28, 35, 140)=
НОК (72, 90)=
НОК (25,100)=
НОК (18, 54)=
НОК (48, 126, 150)=

28. Классная работа

1.
2.
3.
4.
5.
НОД(2,8,13) =
НОД(5,10,15) =
НОД(3,7,21) =
НОД(7,16,25) =
НОД(36, 96) =
1.
2.
3.
4.
5.
НОК (2,8,13)=
НОК (2,10,15)=
НОК (3,7,21)=
НОК (7,16,25)=
НОК (36, 96)=

29. Домашняя работа

1.
2.
3.
4.
5.
НОД(2,4,5) =
НОД(2,6,12) =
НОД(3,7,14) =
НОД(180,396) =
НОД( 49, 21) =
1.
2.
3.
4.
5.
НОК (2,4,5)=
НОК (2,6,12)=
НОК (3,7,14)=
НОК (180,396)=
НОК (49, 21)=

30. Наименьшее общее кратное. (НОК)

• Наименьшим общим кратным натуральных
чисел называется самое маленькое натуральное
число которое делится на данные числа без
остатка.
• Например:
• 24 – ему кратны 24, 48, 72, 96, 120, 144, 168, …
• 42 – ему кратны 42, 84, 126, 168,210,…
• НОК(24, 42) = 168

31. Способы нахождения НОК.

Чтобы найти НОК для данных
натуральных чисел, надо:
1. Разложить на простые
множители данные числа
2. Одно число взять все, а из
разложения второго числа только
не достающие множители
3. Перемножить выбранные числа.
Результат умножения и будет
наименьшим общим кратным для
данных чисел.

32. Контрольная работа

1. Напиши определения НОД и НОК
2. Какие числа называются взаимно простыми?
3. Вычисли НОД и НОК для:
1, 2, 22
1, 7, 19
63, 126
11, 121
3, 7, 28
4. Приведите пример натурального двузначного
четного числа, меньшего 50, которое делится на 7 и
21
5. Напишите наименьшее натуральное трехзначное
число, кратное 15 и 9.