Уравнения - следствия

1. УРАВНЕНИЯ - СЛЕДСТВИЯ

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Пусть
даны два уравнения f(x) = g(x)
и p(x) = Ψ(x). Если любой корень
первого уравнения является корнем
второго уравнения, то второе
уравнение называют следствием
первого.

3. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Замену
уравнения другим
уравнением, которое является его
следствием, называют переходом к
уравнению – следствию.

4. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

При переходе к уравнению-следствию
возможно появление корней, не
являющимися корнями исходного уравнения,
т.е. возможно появление корней,
посторонних для данного уравнения.
При таком способе решения уравнения
проверка полученных корней является
обязательной частью решения уравнения.

5. Основные преобразования, приводящие к уравнению-следствию

ОСНОВНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ,
ПРИВОДЯЩИЕ К УРАВНЕНИЮ-СЛЕДСТВИЮ
Возведение уравнения в четную степень
Потенцирование уравнений
Освобождение уравнения от знаменателей
Приведение подобных членов уравнения
Применение некоторых формул
Применение нескольких преобразований

6. Возведение уравнения в четную степень

ВОЗВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ В ЧЕТНУЮ СТЕПЕНЬ
Пусть n – фиксированное четное
натуральное число. Тогда уравнение
(f(x))ⁿ = (g(x))ⁿ
является следствием уравнения
f(x) = g(x).

7. НАПРИМЕР:

Решите уравнение
X + 1 = 3х 7
Возведя это уравнение в квадрат, получаем уравнение
(x + 1) = 3х + 7
Находим корни этого уравнения
X = 3, x 2= - 2, проверяем эти корни
3 +1 = √3∙3 + 7
-2 +1 = √(-2)∙3 + 7
4=4
-1 ≠ 1
X2является посторонним корнем.
Ответ: 3.
1

8. Потенцирование уравнений

ПОТЕНЦИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
Пусть a – данное число, такое, что a > 0 и
a≠ 1. Тогда уравнение
f(x) = g(x)
Является следствием уравнения
log f(x) = log g(x).
a
a

9. Освобождение уравнения от знаменателей

ОСВОБОЖДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ОТ
ЗНАМЕНАТЕЛЕЙ
Решим уравнение:
2( х 7 )
=
1.
х2 6х 7
Освобождаясь от знаменателя, получаем
уравнение 2х – 14 = х – 6х – 7, которое
имеет два корня: х = 1, х = 7. Проверка
показывает, что корень х является
посторонним.
Ответ: 1
2
1
2
2

10. Приведение подобных членов уравнения

ПРИВЕДЕНИЕ ПОДОБНЫХ ЧЛЕНОВ УРАВНЕНИЯ
Решим уравнение
2
2
2
Х + log (х
3 + х – 1) = х + 6 + log (х3 + х – 1)
Перенося все члены уравнения в левую часть и
приводя подобные члены, получим уравнение
2
х – х – 6 = 0.
Уравнение имеет два корня х = 13, х = 2-2. Проверка
показывает, что корень х 2 является посторонним.
Ответ: 3.