«Паспортная» прямая при решении задач на нахождение отношений между отрезками

1. «Паспортная» прямая при решении задач на нахождение отношений между отрезками

Я – «паспортная прямая»

2. Основа метода:

• обобщённая теорема Фалеса;
• при проецировании на
«паспортную» прямую нельзя
проводить прямые,
параллельные тем, на которых
есть рассматриваемые
отношения

3. Менелай Александрийский-

Менелай Александрийский• I век, древнегреческий
математик и астроном. Автор
работ по сферической
тригонометрии. Для получения
формул сферической
тригонометрии использовал
теорему о прямой,
пересекающей стороны
треугольника (т. Менелая).

4. Теорема Менелая

• Если прямая пересекает стороны АВ,
ВС, АС треугольника АВС (или их
продолжения) в точках К, L, М
соответственно, то справедливо
соотношение
АК ВL CM
1
КВ LC MA

5.

В
К
А
L
С
М

6. спроецируем точки на «паспортную прямую» а параллельно прямой КL

В
а
АК А1 К 1
КВ К 1 В1
К
L
А
С
М
В1
BL B1 K 1
LC K 1C1
К1
CM C1 K 1
MA K 1 A1
С1
А1

7.

АК А1 К 1
КВ К 1 В1
BL B1 K 1
LC K 1C1
CM C1 K 1
MA K 1 A1
AK BL CM
,
KB LC MA
A1 K1 B1 K1 C1 K1
1
K1 B1 K1C1 K1 A1
ч.т.д.

8. Теорема Чевы

• Чева Джованни (03.03.1648, Милан
– 13.12.1734, Мантуя) – итальянский
инженер и математик. Окончил
Пизанский университет. Основные
работы по геометрии и механике.
Доказал (1678 г) теорему, которая
сейчас носит его имя, построил
учение о секущих.

9. Теорема Чевы

• Если в треугольнике АВС прямые
АL, ВМ и СК пересекаются в одной
точке, то
АК ВL CM
КВ LC MA
В
К
L
О
А
М
С
1

10. Доказательство:

Применим т.Менелая с двух сторон:
АК ВО MС
1 (1)
КВ ОМ СA
В
К
L
О
А
М
С

11.

СL ВО MA
1 (2)
LВ ОМ AC
В
К
L
О
А
М
С

12. Имеем:

АК ВО MС
1 (1)
КВ ОМ СA
СL ВО MA
1 (2)
LВ ОМ AC
(1) : (2)
АК МС LB
1
КВ МА LC
ч.т.д.

13. Задачи по теме

14. 1. Государственный университет управления (Москва):

• В трапеции АВСД точка М лежит на
боковой стороне АВ, О – пересечение
диагонали ВД и отрезка СМ. Найдите
площадь треугольника ВОС, если
ВМ = 2 АМ, СО = 5 ОМ, а SΔСОД = 1.

15. Чертёж к задаче № 1:

//АД
Чертёж к задаче № 1:
В
С1
2х
О1
М1
х
Д1
5у
С
О
у
М
А
Д
S BOC ВО
ВО
ВО
S ВОС S СОД
1
S COД ОД
ОД
ОД
2х = 6у, , х = 3у

16.

S BOC
ВО С1О1
ОД О1 Д1
5y
5y
5
y x y 3y 4
Ответ : 1,25

17. 2. Государственный университет управления (Москва):

Точки F и N делят стороны ΔАВС в
отношении FА : FС = 3 : 1 и СN : NВ = 2 : 3.
Прямые АN и ВF пересекаются в точке М.
Найдите отношение площадей
треугольников АМВ и АNВ.

18. Чертёж к задаче № 2

В
// ВМ
у = 5х
М
N
С
А
F
3у
А1
S AMB AM A1 B1
3y
S ANB
AN A1 N1 3 y 3 x
3 5x
15 5
3 5 x 3 x 18 6
у
С1
В1 N1
3х
2х
S AMB 5
Ответ :
S ANB 6

19. 3. Государственный университет управления (Москва):

Прямая, проведённая через вершину А
трапеции АВСЕ, пересекает диагональ ВЕ
и боковую сторону СЕ в точках Р и К
соответственно. Известно что АВ : ВС = 3,
СК : КЕ = 2. Найдите отношение площадей
треугольников АРЕ и КРЕ.

20. Чертёж к задаче № 3

С
В
// ВЕ
у = 3х
К
Р
Е
А
3у
А1
у
ℓ
В1 х К1 2х С1
S АРЕ
АР А1В1 3 у 9 х
9
S КРЕ РК В1К1
х
х

21. 4. МГУ, биофак

Площадь трапеции АВСД (ВС // АД)
равна 30, Р АВ, АР = РВ, R СД,
2
RД = СД, АД = 2 ВС. Найдите
3
площадь треугольника АРQ,
где Q = АR РД.

22. Чертёж к задаче № 4

В1
х
Р
А
С1
х Р
у1
А1
С
В
Q
у
2у
R
Д1
Д
ℓ
2х = 2у, , х = у, , С1 = Р1
// АR

23. Чертёж к задаче № 4

В1
у
// АR
Р1
у
С
В
Р
Q
А1
2у
R
Д1
А
Д
ВС = а, АД = 2а,
S АРД
S тр
ℓ
3а
h 30, ah 20
2
1
h ah
2а
10
2
2
2

24.

S APQ
S APД
PQ P1 А1
у 1
PД P1 Д1 3 у 3
S APQ
1 10
10
3 3
Ответ : S APQ
10
3

25. 5. МГУ, химфак

В треугольнике АВС, АВ = ВС = 8,
АС = 6, Е АВ, Д ВС, АЕ = 2, СД = 1,
АД СЕ = О. Найдите площадь
четырёхугольника ЕВДО.

26. Чертёж к задаче № 5

В1
Чертёж к задаче № 5
// ЕС
В
6х
S ЕВДО S АВС S АЕС
7у
S ОДС
Д1
С1
2х
А1
ℓ
у
Е
А
О
Д
С
3
6 х 8 у, , у х
4

27. № 5

№5
S ABC 8
1
1)
4, S AEC S ABC
S AEC 2
4
2)
S ДОС
S AДC
ОД С1 Д1
у
АД А1 Д1 2 х у
3
х
3
4
3
11
2х х
4

28. № 5

№5
S АДС 1
1
3)
, , S АДС S АВС
S ABC 8
8
4) S ОДС
3
3 1
S АДС S АВС
11
11 8
3
S АВС
88

29.

5) S ЕВДО
1
3
S АВС S АВС S АВС
4
88
63
S АВС
88
6) S АВС 11 3 3 5 3 55
7) S ЕВДО
63
189 55
3 55
.
88
88

30. № 6, МГУ, ф-т почвоведения

АВС , Д АВ, АД ДВ,
1
Е ВС , ВЕ ВС , АЕ ДС О,
3
АОС 120 , АЕ 4, СД 5.
Найдите АВ.

31.

В1
Е1
х
С1
у
В
2у
Д
х
А1
О
Е
120º
С
А
ℓ2 //АЕ
Найдём
//СД
ℓ
АД из ΔАДО, для этого определим,
1
А1С1
хАЕ и ДО
3 у от СД.
3
какую часть АО
АО
составляет
от
1) х = 3у
АЕ
А1Е1
х 2у
3
12
АО 4
5
5
5у
5

32.

В2
m
Д2 n
m
А2
В
2n
Д
О
Е
С2
120º
//СД
ℓ1
2) n = 2m
А
С
ℓ2
//АЕ
ДО Д 2 А2
m
m 1
ДС Д 2С2 m 2n 5m 5
1
ДО 5 1
5

33.

12
3) АДО, АО , ДО 1, О 60
5
144
12
АД 1
2 1 cos 60
25
5
2
109
2 109
, , АВ
25
5
2 109
Ответ : АВ
5

34. № 7. МГУ

Точки Р и Q расположены на стороне ВС
треугольника АВС так, что ВР : РQ : QС =1 : 2 : 3.
Точка R делит сторону АС этого треугольника
таким образом, что АR : RС = 1 : 2. Чему равно
отношение площади четырёхугольника РQSТ к
площади треугольника АВС, где S и Т – точки
пересечения прямой ВR с прямыми АQ и АР
соответственно?

35.

1) 2y = 6x, , y = 3x
АТ А1В1 у 3
2)
ТР В1Р1 х 1
АS А1В1
у
3)
1
SQ В1Q1 3 х
1
4) S PAQ S ABC
3
3x
x 2x
В 1 Р 1 Q1
А1
y
C1
1
3 1 1
S 3 S3
S4 3
5
4
2
3
5)
S3
S3
24
2y

36. ФИЗКУЛЬТМИНУТКА

37. ФИЗКУЛЬТМИНУТКА

38. ФИЗКУЛЬТМИНУТКА