Производственные функции
ПФ
Гипотеза максимизирующего поведения производителя:
Гипотезы
пространство ресурсов
Основные типы производственных функций
Поверхность (линия) уровня
Частные производные
Предельный продукт
средний продукт
Производственная функция (ПФ) типа Кобба – Дугласа где Q – объем производства, a0 > 0 , 0 < a < 1, 0 < b < 1 K – капитал, L – рабочая сила,
ПРИМЕР:
Уровень ПФ – изокванта
Изокванта производственной функции, соответствующая выпуску 96 единиц продукции – линия уровня ПФ
Градиент
Свойства градиента
Экономическая область ПФ
Закон убывающей отдачи ресурса
Коэффициенты эластичности выпуска по затратам ресурсов
Эффект масштаба
Однородные функции
Эффект масштаба
Поиск точки равновесия производителя
Планирование производства
Приращение ФНП
Дифференциал ФНП
Замещение ресурсов
Предельная норма технологического замещения второго ресурса первым
Геометрический смысл предельной нормы замещения второго ресурса первым:
Основные свойства
Закон убывания у ПФ типа Кобба-Дугласа
Линейная производственная функция
ПРИМЕРЫ применения линейной ПФ:
Ресурсы
Изокоста
Поиск оптимального плана – точки равновесия х*
327.50K
Category: economicseconomics

Производственные функции. Гипотеза максимизирующего поведения производителя

1. Производственные функции

2. ПФ

q f ( x1 , x2 ,..., xn ).
• функциональная зависимость между
количеством используемых в
производстве ресурсов и объемом
выпускаемой продукции

3. Гипотеза максимизирующего поведения производителя:

производитель из всего множества
планов производства выбирает тот,
который принесет ему максимальную
прибыль.

4. Гипотезы

• Гипотеза Н1 (гипотеза измеримости): каждый
ресурс является количественно измеримым.
• Гипотеза H2 (гипотеза однородности): каждая точка
пространства Rn+ может быть отождествлена с
некоторым планом производства, (все ресурсы могут
использоваться в количестве, измеряемом любым
неотрицательным действительным числом).
• Гипотеза Н3 (гипотеза однозначности): при
одинаковых затратах ресурсов производитель
выпускает одно и то же количество продукции.

5. пространство ресурсов

- множество n-мерных векторов с
неотрицательными координатами
Rn x ( x1, x2 ,..., xn ) xi 0, i 1,2,..., n .
• точки этого множества – планы
производства по ресурсам.

6. Основные типы производственных функций


Линейная
Кобба-Дугласа
Леонтьева

7. Поверхность (линия) уровня

– множество значений аргумента, в которых
функция принимает одно и то же значение
Геометрически линия уровня (уровень)
функции двух переменных - плоская кривая,
получаемая при пересечении графика этой
функции плоскостью, параллельной
координатной плоскости XOY
Z=C, где C=const
Изобразить поверхность на плоскости можно,
проектируя линии уровня на плоскость XOY.
Семейство полученных кривых задается
уравнениями вида
F(x,y)=C

8.

Линии уровня
функции двух переменных

9. Частные производные

• Частная производная функции f ( x1 , x2 ,..., xn )
в точке по переменной x k
f
u
lim
x k
xk 0 x k
- обыкновенная производная функции одной
переменной x k при фиксированных
значениях других переменных
- она характеризует скорость изменения ФНП в
направлении данной координатной оси x k при
фиксированных значениях других координат.

10. Предельный продукт

• =предельная эффективность ресурса,
=предельная производительность
ресурса,
=предельная отдача ресурса при
плане x ( x1 , x2 )
f ( x1 , x2 )
MP1
x1
f
f ( x1 , x2 ) df ( x1 , x2 )
x1
x1
f ( x1 , x2 )
MP2
x2
x1 1 MP1 q

11. средний продукт

• средний продукт первого ресурса
(средняя производительность ресурса,
средняя отдача ресурса)
f ( x1 , x2 ) q
AP1
x1
x1
- отношение объема выпущенной
продукции к количеству затраченного
переменного ресурса

12. Производственная функция (ПФ) типа Кобба – Дугласа где Q – объем производства, a0 > 0 , 0 < a < 1, 0 < b < 1 K – капитал, L – рабочая сила,

Производственная функция
(ПФ) типа Кобба – Дугласа
Q f ( K , L) a0 K L ,
a b
где Q – объем производства,
a0 > 0 , 0 < a < 1, 0 < b < 1
K – капитал,
L – рабочая сила,
f (1,1) a0 ,
f (0, L) f ( K ,0) 0.
Пример:
ПФ небольшого цеха, изготавливающего рамы для
картин, имеет вид:
q f ( x1 , x2 ) 4 x
1/ 2 1/ 4
1
2
x
где x1 – отработанные человеко-часы,
x2 – отработанные машино-часы,
q – число изготовленных рам.
Найти количество продукции при плане x* = (64, 81).

13. ПРИМЕР:

q f ( x1 , x 2 ) 4 x
1/ 2
1
x2
1/ 4
Вычислим частные производные ПФ, т.е. первый и
второй предельный продукты (предельную отдачу
первого и второго ресурса) для плана x*=(64, 81):
1/ 4
f
2
81
3
1 / 2 1 / 4
2 x1 x2
,
1/ 2
64
,
81
x1
64
4
1/ 2
f
64
8
1 / 2 3 / 4
x1 x2
3/ 4
.
64,81
x2
81
27
• значение 3/4 первого предельного продукта означает,
что при увеличении затрат первого ресурса на
единицу и неизменных затратах второго выпуск
продукции увеличится примерно на 3/4 ед.
• Каков экономический смысл второго предельного
продукта?

14. Уровень ПФ – изокванта

• Построить изокванту, проходящую через точку х*
q f ( x ) 4 64
*
1/ 2
81
1/ 4
96
• затраты первого и второго ресурсов для всех планов
производства, обеспечивающих выпуск 96 единиц
продукции, связаны уравнением:
1/ 2 1/ 4
1
2
4x
x
96
x2
24
x1
4
2
331776
x1
• Графиком полученной функции в пространстве
ресурсов является изокванта, соответствующая
выпуску 96 единиц продукции
2

15. Изокванта производственной функции, соответствующая выпуску 96 единиц продукции – линия уровня ПФ

x2
x*
x*
81
q=96
O
64
x1
Построить изокванты q=60, q=80 на том же рис.

16. Градиент

• Градиент ФНП в точке – вектор, координаты
которого равны частным производным
функции в этой точке
F x
F x
.
grad F F x
, ,
xn
x1
• Градиент указывает направление и
величину максимальной скорости
возрастания функции в точке

17. Свойства градиента

• Градиент функции в точке перпендикулярен
(ортогонален) поверхности уровня,
проходящей через данную точку.
• Если приращения аргумента достаточно
малы, функция возрастает (убывает)
только для тех из них, которые составляют
острый (тупой) угол с градиентом
• Функция практически не меняется для
приращений, ортогональных градиенту.
• Градиент ПФ называют вектором
предельного продукта

18. Экономическая область ПФ

• область, в которой увеличение затрат
любого ресурса не приводит к
уменьшению выпуска продукции.
• План ( x1 , x2 ) лежит в экономической
области ПФ
MP1 ( x1, x2 ) 0
MP2 ( x1, x2 ) 0

19. Закон убывающей отдачи ресурса

• если последовательное равномерное увеличение
затрат этого ресурса при фиксированных значениях
остальных приводит к последовательно
уменьшающемуся приросту выпуска продукции.
• Теорема. Для того, чтобы в некоторой области
выполнялся Закон убывающей отдачи ресурса,
необходимо и достаточно, чтобы в этой области
вторая частная производная ПФ по соответствующей
переменной была отрицательна:
2
f ( x1 , x2 ,..., xn )
0
2
xi

20. Коэффициенты эластичности выпуска по затратам ресурсов

• определяются следующими формулами:
x1
f ( x1 , x2 )
x2
f ( x1 , x2 )
e x (q)
e x (q)
2
1
f ( x1 , x2 )
x2
f ( x1 , x2 )
x1
• Коэффициенты эластичности равны отношению
предельной отдачи ресурса к средней отдаче
ресурса:
MPi
e xi (q)
APi
• Экономический смысл: коэффициент эластичности
выпуска по затратам первого ресурса показывает, на
сколько примерно процентов изменится выпуск
продукции, если затраты первого ресурса увеличить
на 1%.

21. Эффект масштаба

q0 f ( x1 , x2 )
- объем выпускаемой
продукции при плане ( x1 , x2 ).
• При увеличении затрат ресурсов в k раз
(k > 1) выпуск составит
q f (kx , kx
1
тоже в k раз
q1 kq0
выпуск
продукции
более, чем в k раз
увеличился
менее, чем в k раз
q1 kq0
q1 kq0
1
2
)
постоянный
возрастающий
убывающий
эффект от расширения
масштабов производства

22. Однородные функции

• Функция нескольких переменных называется
однородной порядка m, если для всех х из
некоторой области Х
f (kx1 , kx2 ,..., kxn ) k f ( x1 , x 2 ,..., x n )
m
• Если ПФ является однородной
порядка m, то
• при m=1 ПФ обладает постоянным;
• при m>1 ПФ обладает возрастающим
• при m<1 ПФ обладает убывающим
эффектом
масштаба

23. Эффект масштаба

X2
X2
X2
3x2
3q
2x2
2x2
2q
2x2
2q
x1
2x1
q
q
q
0
2q
x2
x2
x2
3x1
постоянный
X1
0
x1
2x1
убывающий
X1
0
x1
2x1
X1
возрастающий

24. Поиск точки равновесия производителя

25. Планирование производства

• Долговременное
• Кратковременное
Long-run
• возможны изменения всех
ресурсов
short-run
• Есть ограничения на ресурсы
• Все ресурсы
переменные
• Эффект от расширения
масштаба производства
• Ресурсы
постоянные и
переменные
• Закон убывающей отдачи
переменного ресурса

26. Приращение ФНП

f f (M ) f (M 0 ) f ( x dx, y dy) f ( x, y)
функция f(x,y) имеет в точке М0 непрерывные частные
производные, то
по известным приращениям аргументов Δx, Δy,
приближенно вычислим
полное приращение функции
f
f
f d f
x
y
x
y

27. Дифференциал ФНП

полным дифференциалом функции
называется линейная по приращениям
аргументов часть приращения функции
f
f
df
dx1
dx2
x1
x2
xi dxi

28. Замещение ресурсов

без изменения объёма выпуска
f ( x1 , x2 )
f ( x1 , x2 )
0 q
dx1
dx2
x1
x2
0 MP1 ( x1 , x2 ) x1 MP2 ( x1 , x2 ) x2
MP1 ( x1 , x2 )
x2
x1
MP2 ( x1 , x2 )

29. Предельная норма технологического замещения второго ресурса первым

MP1 ( x1 , x2 )
MRTS12 ( x1 , x2 )
q
const
MP2 ( x1 , x2 )
MRTS – marginal rate of technical substitution.
• Экономический смысл предельной нормы
замещения - это примерное количество второго
ресурса, которое можно сэкономить, увеличив
затраты первого ресурса на 1 единицу, при этом
объем выпуска не изменится.
MRTS 12 ( x1 , x2 ) x2

30. Геометрический смысл предельной нормы замещения второго ресурса первым:

MRTS 12 ( x1 , x2 )
численно равна тангенсу угла наклона
касательной к изокванте в точке (x1,x2),
взятому с обратным знаком.
• мы будем рассматривать тангенс
смежного острого угла, поскольку
тангенсы этих углов отличаются
только знаком.

31. Основные свойства

MRTS 1, 2 ( x1 , x 2 )
MRTS 12 ( x1 , x2 )
численно равна тангенсу острого угла tg
наклона касательной к изокванте в
точке (x1,x2).
x2
MRTS12 ( x1 , x2 )
x1
x2 MRTS 12 ( x1 , x2 ) x1
f ( x1, x2 ) f ( x1 x1; x2 MRTS12 ( x1 , x2 )) const.

32. Закон убывания у ПФ типа Кобба-Дугласа

Закон убывания MRTS 1, 2
у ПФ типа Кобба-Дугласа
MRTS 1, 2
X2
1
0
непрерывно убывает
(tg 2 tg 1 )
2
X1
возможна замещаемость ресурсов в определенных границах

33. Линейная производственная функция

q f ( x1, x2 ) a1x1 a2 x2 ,
• применяется при моделировании таких производственных
процессов, где выпуск однородной продукции является
результатом одновременного функционирования нескольких
технологий,
• выпуск линейно зависит от затрат,
• ресурсы полностью взаимозаменяемы, т.е.
для выпуска достаточно наличия хотя бы одного ресурса.
X2
MRTS 1, 2
MRTS 2,1
a1
;
a2
(a1,a2)
a1
a2
a1
0
a2
X1

34. ПРИМЕРЫ применения линейной ПФ:

• производство однотипных деталей
рабочими различных разрядов,
• выемка грунта рабочими или
экскаваторами,
• выручка дистрибьюторов однородного
товара,
• сегмент рынка, крупная отрасль,
• народное хозяйство в целом.

35. Ресурсы

постоянные
переменные
• x = (x1, x2, ..., xn) - план по
затратам переменных
ресурсов
• вектор w = (w1, w2, ..., wn)
задает цены переменных
ресурсов.
• Стоимость переменных
ресурсов = переменные
• стоимость затраченных
постоянных ресурсов С0 =
постоянные
издержки,
издержки
G(x) =
w x
•общая стоимость затраченных ресурсов = общие издержки
C0 w x

36. Изокоста

- множество планов производства с
одинаковыми переменными издержками
• Уравнение изокосты
G ( x) w1 x1 w2 x2 c
• Семейство изокост на плоскости –
множество отрезков параллельных
прямых с нормалью w (w1 , w2 )
• Угол наклона изокосты к оси Оx1
определяется отношением цен на
ресурсы:
tg = – w1/ w2.

37. Поиск оптимального плана – точки равновесия х*

• выпуск заданного
количества
продукции q с
наименьшими
переменными
издержками
G ( x) w x min,
при условии
q( x) const
x 0.
• выпуск
максимального
количества
продукции при
наличии бюджетного
ограничения
q( x) max
при условии
G ( x) w x const
x 0.
English     Русский Rules