Механические свойства твердых тел. Деформации. Практическое занятие 4

1.

Практическое занятие 4
Механические свойства твердых тел (ТТ).
Деформации
1

2.

FP C – сила, действующая вдоль оси стержня
(деформация растяжения - сжатия)
FИЗ – сила, создающая изгибающий момент.
Зависит от точки приложения силы
(деформация изгиба и сдвига)
FP C
FKP
FИЗ
FKP – сила, создающая крутящий момент.
Зависит от точки приложения силы
(деформация кручения)
2

3.

Упругие (обратимые)
деформации:
Пластические (необратимые)
деформации:
после снятия нагрузки ТТ
после снятия нагрузки ТТ
восстанавливает свои форму
частично
и размеры
восстанавливает свои форму
и размеры
Кристаллические и
Кристаллические ТТ при
поликристаллические тела
больших деформациях
при малых деформациях
аморфные тела,
полимеры
+
||
Реальное ТТ с упругопластическими свойствами
3

4.

Деформация растяжения – сжатия:
Для вещества ТТ:
Для ТТ в целом:
l – относительная
ε
F
S
l0
деформация
F
σ
– мех. напряжение в
S
сечении цилиндра
Аналогия:
l0 l
Закон Гука для малых
упругих деформаций:
Закон Гука: F k l
σ причина
k – коэффициент
следствие ε
E свойство
упругости
Упругие деформации:
Δl – абсолютная
2
3
E
A
B
... 4
деформация цилиндра

5.

1. Сухожилие длиной 16 см под действием силы 12,4 Н
удлиняется на 3,3 мм. Сухожилие можно считать
круглым в сечении с диаметром 8,6 мм.
Рассчитать модуль упругости (Юнга) этого сухожилия.
СИ:
F 12,4 H
l0 16 см 0,16 м
l 3,3 мм 3,3 10 3 м
d 8,6 мм 8,6 10 3 м
Закон Гука:
σ
σ
ε E
E
ε
l
F
ε
σ
l0
S
E ?
5

6.

F
F l0
4 F l0
S
E
2
l S l πd l
l0
πd 2
S
4
E
4 12,4 0,16
3,14 8,6 10
3 2
3,3 10 3
1,0 10 Па
7
Н м Н
E 2 2 Па
м м м
6

7.

2. Определить жесткость k системы двух пружин при
последовательном и параллельном их соединении.
Жесткости пружин k1=2000 Н/м и k2=6000 Н/м.
2.1. Последовательное соединение:
k1
l01
k2
F
l02
F F1 F2
l1 l01 l1
l2 l02 l2
7

8.

F
F
k
l l1 l2
F
l1
k1
F
F
l2
k2
1
k1k2
k
F
F
1 1
k1 k2
k 1 k 2 k1 k 2
6000 2000
k
1500 Н / м
6000 2000
8

9.

2.2. Параллельное соединение:
k2
l2 l02 l
l02
F2
F
F
F1
k1
l01
l1 l01 l
F k l F1 F2 k1 l k2 l
k k1 k2
k 2000 6000 8000 Н / м
9

10.

σ
Зависимость σ = f(ε) для ТТ:
σпроч
σпроп
Разрушение
σт
σупр
σпроп – предел
пропорциональности
(граница действия
закона Гука)
σупр – предел упругости
(граница упругих
деформаций)
ε
σт – предел текучести: зона неопределенности
зависимости σ = f(ε), характерная для пластических
деформаций
σпроч – предел прочности материала ТТ
10

11.

Площадь сечения бедренной кости человека 3,0 см2.
Какую силу сжатия может выдержать кость,
не разрушаясь? Предел прочности бедренной кости
при сжатии 124 МПа.
Закон Гука:
СИ:
S = 3,0 см2 = 3,0·10-4 м2
σпроч. = 124 МПа = 124·106 Па
Fmax = ?
F
σ
S
Fmax
σ проч.
Fmax σпроч.S
S
Fmax 124 106 3,0 10 4 372 102 37 кН
11

12.

Упругие свойства моделируются упругой пружиной
(мгновенный ответ на воздействие)
σy
εy
E
Вязкие свойства моделируются поршнем,
движущимся в цилиндре с вязкой жидкостью
х
FCOΠP
σ
dx
rv r
dt
η
ε
dε B
σB η
dt
12

13.

εу и εВ – упругая и вязкая относительные деформации
(в дальнейшем – просто деформации)
σу и σВ – напряжения упругой и вязкой деформаций
r – коэффициент сопротивления вязкой среды
η – коэффициент динамической вязкости среды
(см. Лекция 3)
13

14.

Простейшая комбинация, реализующая
вязкоупругие свойства: последовательная модель
Пружина мгновенно растягивается и закрепляется:
Начинается деформация вязкого элемента:
14

15.

Суммарная деформация при последовательном
соединении элементов (задача 2.1):
ε ε y εB
Скорость суммарной деформации:
dε dε y d ε B
dt
dt
dt
Напряжения упругой и вязкой деформаций при
последовательном соединении равны (задача 2.1):
σ y σ B σ const
15

16.

Вязкая:
Упругая:
σ
εy
E
dε y
dε B
σ η
dt
1 dσ
dt
E dt
dε B σ
dt
η
Скорость суммарной деформации:
σ = const →
=0
t
σ
0 dε 0 η dt
σ
dε dt
η
d ε 1 dσ σ
dt E dt η
ε
σ
ε t
η
t16

17.

Пружина закреплена:
d ε 1 dσ σ
ε = const → dt E dt η
1 dσ
σ
E dt
η
=0
Разделяем переменные и «кучкуем» постоянные:
σ
dσ
E
dt
σ0
σ
η
t
dσ
E
σ 0 η dt
0
σ σ 0e
E
t
η
t
σ – напряжение в элементах в начальный момент времени
(мгновенная деформация и закрепление пружины)17

18.

Параллельная модель:
Суммарное
напряжение:
σ σ y σ B const
ε ε y =ε B (см. 2.2)
dε
σ Eε η
dt
Разделение
переменных:
dε
σ Eε η
dt
F const
dt
dε
η σ Eε
18

19.

t
t
dt t
t
0 η η η
0
dt
dε
0 η 0 σ Eε
t
ε
ε
dε
1
0 σ Eε E ln σ Eε 0
1 σ Eε
1 Eε
1
ln 1
ln σ Eε ln σ ln
E
σ
E
σ
E
t
1 Eε
ln 1
η
E
σ
E
1 Eε
t ln 1
η
E
σ
19

20.

Потенцирование:
e
E
t
η
Eε
1
σ
E
t
σ
η
ε 1 e
E
20

21.

После снятия нагрузки F в момент времени t0
при ε = εmax:
σ 0
Пружина начинает сжиматься, перемещая поршень:
dε
0 Eε η
dt
t
E
dε
dt
η t0
max ε
dε
0 Edt η
ε
E
dε
dt
η
ε
dt
ε
E
ε
(t t0 ) ln ε ln ε max ln
η
ε max
ε ε max e
E
( t t0 )
η
21

22.

ε
εmax
ε max
E
t0
σ
1 e η
E
σ = const
σ=0
E
t
σ
ε 1 e η
E
t0
ε ε max e
E
( t t0 )
η
t
22

23.

Реальная костная ткань
0 – 1: быстрая деформация
ε
1 – 2: прямая ползучесть
2
εmax
2 – 3: быстрое сокращение
3 – 4: обратная ползучесть
3 σ=0
1
σ = const
4
0
t0
t
23

24.

Смешанная модель
В1
У2
У1
24

25.

Смешанная модель
0 – 1: быстрая деформация У2
ε
1 – 2: прямая ползучесть В1 и У1
2
εmax
2 – 3: быстрое сокращение У2
3 – 4: обратная ползучесть В1 и У1
3 σ=0
1
σ = const
4
0
t0
t
25

26.

Тема следующего занятия:
Поверхностные явления.
Гидростатика.
Гидромеханика идеальной и вязкой жидкости.
Иметь при себе распечатанные выдачи лекции №3
26