Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

1. Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ,
ВПИСАННЫЕ В
ОКРУЖНОСТЬ.
ТЕОРЕМА ПТОЛЕМЕЯ

2. Вписанные четырёхугольники и их свойства

Определение 1.
Окружностью, описанной около четырёхугольника,
называют окружность, проходящую через все
вершины четырёхугольника . В этом случае
четырёхугольник называют четырёхугольником,
вписанным в окружность,
или
вписанным четырёхугольником.

3. Теорема 1. Если четырёхугольник вписан в окружность, то суммы величин его противоположных углов равны 180°.

Доказательство. Угол ABC является вписанным
углом, опирающимся на дугу ADC .Поэтому величина
угла ABC равна половине угловой величины дуги ADC.
Угол ADC является вписанным углом, опирающимся на
дугу ABC. Поэтому величина угла ADC равна половине
угловой величины дуги ABC. Отсюда вытекает, что сумма
величин углов ABC и ADC равна половине угловой
величины дуги, совпадающей со всей окружностью, т.е.
равна 180°.
Если рассмотреть углы BCD и BAD,
то рассуждение будет аналогичным.
Теорема 1 доказана.

4. Теорема 2 (Обратная  к теореме 1). Если у четырёхугольника суммы величин его противоположных углов равны 180°, то около этого

Теорема 2 (Обратная к теореме 1). Если у четырёхугольника суммы
величин его противоположных углов равны 180°, то около этого
четырёхугольника можно описать окружность.

5.

Фигура
Окружность, описанная
околопараллелограмма
Рисунок
Свойство
Окружность можно
описать около
параллелограмма тогда и
только тогда, когда
параллелограмм
является прямоугольником.
Окружность, описанная
околоромба
Окружность можно
описать около ромба тогда
и только тогда, когда ромб
является квадратом.
Окружность, описанная
околотрапеции
Окружность можно
описать около трапеции
тогда и только тогда, когда
трапеция
являетсяравнобедренной
трапецией.
Окружность, описанная
околодельтоида
Окружность можно
описать около дельтоида
тогда и только тогда, когда
дельтоид состоит из двух
одинаковых
прямоугольных
треугольников.

6.       Теорема Птолемея. Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

ТЕОРЕМА ПТОЛЕМЕЯ. ПРОИЗВЕДЕНИЕ
ДИАГОНАЛЕЙ ВПИСАННОГО
ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКА РАВНО СУММЕ
ПРОИЗВЕДЕНИЙ ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ СТОРОН.
справедливо равенство: AC∙BD=AB∙CD+AD∙BC

7. Выберем на диагонали AC точку E так, чтобы угол ABD  был равен углу CBE . Заметим, что треугольник ABD подобен

ВЫБЕРЕМ НА ДИАГОНАЛИ AC ТОЧКУ E ТАК, ЧТОБЫ УГОЛ ABD БЫЛ
РАВЕН УГЛУ CBE .
ЗАМЕТИМ, ЧТО ТРЕУГОЛЬНИК ABD ПОДОБЕН ТРЕУГОЛЬНИКУ BCE.
ДЕЙСТВИТЕЛЬНО, У ЭТИХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ ПО ДВА РАВНЫХ УГЛА:
УГОЛ ABD РАВЕН УГЛУ CBE (ПО ПОСТРОЕНИЮ ТОЧКИ E),
УГОЛ ADB РАВЕН УГЛУ ACB (ЭТИ УГЛЫ ЯВЛЯЮТСЯ ВПИСАННЫМИ
УГЛАМИ, ОПИРАЮЩИМИСЯ НА ОДНУ И ТУ ЖЕ ДУГУ).
СЛЕДОВАТЕЛЬНО, СПРАВЕДЛИВА ПРОПОРЦИЯ:

8.

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого
лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг
четырехугольника.
Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной
окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.
На рисунке — вписанные и описанные четырехугольники и их свойства.
Вписанный четырёхугольник
Описанный четырёхугольник