Глава 1. Механика. Работа и энергия

1. ГЛАВА I. МЕХАНИКА §8. Работа и энергия

О. И. Лубенченко
НИУ МЭИ
Кафедра физики им. В. А. Фабриканта
2020

2. §8. Работа и энергия

2
I. Кинетическая энергия
Кинетическая энергия — энергетическая характеристика движения.
[Wк] = Дж (джоуль).
mv2
1. Кинетическая энергия МТ: Wк
2
2. Кинетическая энергия механической системы: Wк
W
кi
Кинетическая энергия тела, совершающего поступательное движение:
mv2
Wк
2
(m — масса тела, v — модуль его скорости)
3. Кинетическая энергия ТТ, вращающегося вокруг неподвижной оси:
Iω2
Wк
2

3. §8. Работа и энергия

Доказательство
z
vi , Δ pi
vi ωri
Δmi vi2 1
ω2
Iω2
2 2
2
Wк ΔWкi
Δmi ω ri
Δmi ri
2
2
2
2
ω
Oi
ri Δmi
4. Кинетическая энергия ТТ, совершающего плоское движение
Теорема Кёнига: кинетическая энергия ТТ, совершающего плоское
движение, равна сумме кинетической энергии поступательного движения
этого тела со скоростью, равной скорости Цм тела, и вращения тела вокруг
оси, проходящей через ЦМ тела перпендикулярно плоскости движения:
mvC2 IC ω2
Wк
2
2
3

4. §8. Работа и энергия

4
Доказательство
Разобьём тело на малые фрагменты массой Δmi. Вычислим кинетическую
энергию тела по определению:
2
Δmi vi2 1
Wк ΔWкi
Δmi vC ui
2
2
dρ
Δmi m
vi vC ui
ui i ωρi
dt
1
Wк Δmi vC2 2 Δmi vC ui Δmi ui2
2
vC2
d ρi 1
Δmi vC Δmi
Δmi ω2 ρi2
2
dt 2
2
2
mvC2
m
v
I
ω
d
ω2
C
Wк
vC
Δmi ρi
Δmi ρi2
C
2
dt
2
2
2
0, т. к. точка C — центр масс IC

5. §8. Работа и энергия

5
II. Работа и мощность
Работа — скалярная ФВ — энергетическая характеристика взаимодействия.
[A] = Дж
1. Элементарная работа: dA Fdl Fdl cos F , dl Fl dl
B α dl
2. Работа: A dA Fdl Fl dl
l
l
F
1
l
l
2
l — траектория точки приложения силы
Графический смысл работы: площадь под кривой Fl(l) равна модулю работы F
при перемещении точки приложения этой силы по траектории l.
Fl
A
0
1
2 l

6. §8. Работа и энергия

6
3. Работа при вращательном движении ТТ
M
z
dφ
O
F
dA Fdl Fdl cos α
⊙M
z⊙
dA Fr cos α dφ
r dφ
r
B
B
dl r dφ
dl α
F
π
Fr sin α dφ M z dφ
2
dA Mdφ
4. Мощность
Мощность — скалярная ФВ — энергетическая характеристика
взаимодействия (или тела, совершающего работу), равная скорости
совершения работы.
[N] = Вт (ватт)
A
Средняя мощность: N
Δt
Мгновенная мощность: N
dA
dt

7. §8. Работа и энергия

N
dA Fdl
Fv
dt dt
N Fv
7
v — скорость точки приложения силы
III. Теорема об изменении кинетической энергии
Изменение кинетической энергии механической системы равно сумме работ
внешних и внутренних сил:
e
i
ΔWк A A
Доказательство
Рассмотрим МТ массы m, которая испытывает воздействие, описываемое
силой F .
t2
F
2
dl vdt A Fdl F vdt
1
t1
dv
F ma a
dt
t2
t2
v2
dv
mv2
A ma vdt m v dt m vd v
dt
2
t1
t1
v1
dA Fdl
Wк2 Wк1 ΔWк
m
t1
v2
v1
mv22 mv12
2
2
dl
t2
1
2

8. §8. Работа и энергия

8
Теперь рассмотрим механическую систему. Для i-ой материальной точки
Ai Wк2i Wк1i
A Ai Wк2i Wк1i Wк2 Wк1 ΔWк
IV. Потенциальная энергия материальной точки
Поле (в математике) — величина как функция радиуса-вектора (или
координат). Задать силу как функцию радиуса-вектора материальной точки,
воздействие на которую описывается этой силой, значит задать силовое поле.
Поле в физике — физический объект.
Поле потенциально (сила потенциальна), если работа поля при
перемещении МТ по любой замкнутой траектории равна нулю (иначе говоря,
циркуляция силы по произвольному замкнутому контуру равна нулю):
A1 1 0
Fdl 0
l
Работа потенциального поля по перемещению МТ не зависит от формы её
траектории, а зависит только от начального и конечного положения МТ.

9. §8. Работа и энергия

9
Доказательство
3
По определению потенциального поля A13241 0
2
1
4
A13241 A132 A241 A132 A142
A132 A142
Изменением потенциальной энергии МТ при перемещении МТ из
положения 1 в положение 2 называется работа потенциального поля,
совершаемая при этом перемещении, взятая с обратным знаком:
п
ΔWп12 A12
Потенциальная энергия МТ — ФВ — энергетическая характеристика
взаимодействия, равная работе потенциального поля по перемещению МТ в
данное положение из точки, где потенциальная энергия принята равной
нулю, взятая с обратным знаком:
Wп 0
1
Wп Aп
Wп 0
Fdl
Fdl
1
Потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной
постоянной.

10. §8. Работа и энергия

10
ПРИМЕРЫ РАСЧЁТА РАБОТЫ И ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ
1. Работа силы сухого трения
МТ скользит по шероховатой поверхности.
F ,dl π
тр
Fтр Fтрmax
dA F трdl Fтрdl cos π Fтрdl
Fтр
l
B
1
dl
A Fтрdl Fтрl Сила трения непотенциальна.
l
2. Работа силы упругости
Пружина жёсткостью k растягивается из состояния с деформацией x1 до
деформации x2.
F упр
k
0 i x1
x2
x
kx
A kxdx
2
x1
F упр kxi
dx
dl
dA F упрdl kxi dxi kxdx
x2
2 x2
x1
dl dx i
x
kx22 kx12
2
2
Сила упругости потенциальна.
2

11. §8. Работа и энергия

kx22 kx12
ΔWп12 A
2
2
11
kx 2
При Wп(0) = 0 Wп
2
3. Работа силы тяжести
h1
0
dA Fтdl Fтdl cos α Fтdh mgdh
l
m
1
Fт
α
h2
A mgdh mg h2 h1
dl dh
2
h2
h
h1
Сила тяжести потенциальна. ΔWп12 mg h2 h1
При Wп = 0 при h = 0 Wп mgh
4. Поле центральных сил
Центральная сила — сила, модуль которой зависит только от расстояния
от точки, называемой силовым центром (центром силы),
направленная вдоль радиуса-вектора, соединяющего центр силы с точкой
приложения силы:
F f r
r
r

12. §8. Работа и энергия

1
r1
O
r
r2
dl
l
B
α
12
2
2
2
1
1
1
A12 Fdl Fdl cos α Fr dr
F
Центральная сила потенциальна.
Wп 0
2
Wп
Fr r dr
r
Частный случай
Гравитационное поле
F
GMm При W (∞) = 0
m Fr r 2
M
п
r
r
GMm
GMm
GMm
Wп 2 dr
r
r
r
r
r
V. Связь силы и потенциальной энергии. Градиент
dWп
dl
F Wп gradWп
dWп dA Fdl
d
— оператор «набла» (оператор векторного дифференцирования)
dl
F

13. §8. Работа и энергия

13
В декартовой системе координат i j k
x y
z
— частная производная функции трёх переменных (x, y, z) по x и т. д.
x
Градиент — произведение вектора ∇ на скалярную функцию — векторная
функция скалярного аргумента; в декартовых координатах
gradWп Wп
Wп
Wп
Wп
i
j
k
x
y
z
Направление градиента — направление наиболее быстрого возрастания
скалярной функции.
F ma
F gradWп
a
gradWп
Устойчивое равновесие — min Wп
Неустойчивое равновесие — max Wп
grad Wп = 0 — положение равновесия

14. §8. Работа и энергия

14
ПРИМЕР
Дана зависимость потенциальной энергии МТ в некотором поле от
декартовых координат: Wп = axyz, где a — постоянная. Найти силу, с которой
поле действует на МТ, как функцию координат.
Wп Wп
Wп
F gradWп
i
j
k a yzi xz j xyk
x
y
z
F 0 в любой точке на осях x, y, z — устойчивое равновесие при a > 0 и
неустойчивое при a < 0.
VI. Потенциальная энергия механической системы
Потенциальная энергия механической системы равна работе
внешних и внутренних потенциальных сил при переходе системы из данной
конфигурации в конфигурацию, где потенциальная энергия системы принята
равной нулю (конфигурация системы — это совокупность координат тел
(МТ), входящих в эту систему):
Wп A Wп 0 A Wп 0

15. §8. Работа и энергия

15
ПРИМЕР
Потенциальная энергия системы двух гравитирующих тел
Два тела массами M и m взаимодействуют гравитационно. Расстояние между
центрами масс этих тел равно r. Найти потенциальную энергию системы.
Положим Wп(∞) = 0.
Wп Ar
GMm
GMm
GMm
Fr r dr 2 dr
r
r r
r
r
r
VII. Закон сохранения и изменения механической энергии
Рассмотрим механическую систему. По т. об изменении кинетической
энергии
ΔWк Ae п Ae нп Ai п Ai нп
ΔWк Ae п Ai п Ae нп Ai нп
ΔWп
Механическая энергия системы — ФВ — сумма кинетической и
потенциальной энергии:
W Wк Wп

16. §8. Работа и энергия

16
Закон изменения механической энергии: изменение механической
энергии системы равно сумме работ внешних и внутренних непотенциальных
сил:
ΔW Ae нп Ai нп
Закон сохранения механической энергии: механическая энергия
системы не изменяется с течением времени, если сумма работ внешних и
внутренних непотенциальных сил равна нулю, а все внешние потенциальные
силы стационарны (т. е. не зависят явным образом от времени).
Консервативные силы — потенциальные силы и непотенциальные силы,
работа которых равна нулю.
Диссипативные силы — непотенциальные силы, работа которых меньше
нуля.
Диссипация энергии — переход энергии упорядоченных процессов (в
данном случае —механической энергии) в энергию неупорядоченных
процессов (внутреннюю энергию).