Распределение параметров сложных систем

1. Тема доклада

Почему распределения параметров
сложных систем:
1. часто имеют высокую неоднородность
(Принцип 80/20)
2. часто имеют степенные хвосты с низкими
показателями степени (обычно от 1 до 3)
Причины:
• эффект случайного смещения результата (1)
• эффект естественного отбора (1+2)
• "чистые распределения" (1+2)

2. Принцип 80/20

• 20% ассортимента
продукции - 80% от общего
объема продаж
• 20% покупателей и клиентов
- 80% от общего объема
продаж
• 20% ассортимента
продукции или 20%
покупателей - 80% прибыли
• 20% преступников - 80%
преступлений
• 20% водителей - 80%
дорожно-транспортных
происшествий
• 20% вступивших в брак 80% разводов
• 20% детей - 80%
возможностей,
предоставляемых системой
образования в данной
стране
• 20% площади ковров - 80%
воздействий, ведущих к их
износу
• 80% всего времени - 20%
имеющейся у вас одежды
• 80% всех ложных тревог при
срабатывании
противоугонной
сигнализации - 20%
возможных причин

3. Кривая Лоренца

M(S)
M(S)
1
1
0,9
0,9
0,8
0,8
0,7
0,7
0,6
0,6
0,5
0,5
0,4
0,4
0,3
0,3
0,2
0,2
0,1
0,1
0
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0
0,2
0,4
0,6
r
r
S ( r ) p(t ) dt
0
M (r)
0,8
r
t p(t ) dt t p(t ) dt
0
t p(t ) dt
0
0
r
1

4. Меры однородности G и Г

2 (1 S )
0 1
0 G 1
G 2
2 G

5. Три меры неоднородности

1
G 1 G
- коэффициент Джини
r
D[r ] r
D[
]
1
2
2
r r
r
2
• Меры Г и G "работают" только для
неотрицательных "r" - мера Ф работает всегда
• Свойства меры Ф проще анализировать

6. Свойства меры однородности G

G
S
2
( r ) dr
0
S (r ) dr
S
2
( r ) dr
0
r
r S
2
r
0
r
r
0
S ( r ) p(t ) dt 1 S ( r ) 1 p(t ) dt
0
0
0
r p( r ) r dr (1 S ( r )) dr S ( r ) dr

7. Однородность G разных распределений вероятности

Распределение (r≥0)
G
Г
Ф
дельта-функция
1
1
0
экспоненциальное ("водораздел")
1/2
0,64
1
равномерное
≥2/3
≥0,62
≤1/3
"две дельта-функции",
случай "p(r) → δ(r)" с сохранением двух
дельта-функций
0
0
+∞
логнормальное
1 при σ=0
0,03 при σ=3
1 при σ=0
0,13 при σ=3
0 при σ=0
8102 при σ=3
чисто степенное: p(r)=C/rk, 0<r<∞
0 при 1≤k≤2
1 при k→+∞
0 при 1≤k≤2
1 при k→+∞
0 при 1≤k≤3
1 при k→+∞

8. Неоднородность чисто степенного распределения

Ф(k)
G(k)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
1
2
3
4
k
5
6
7
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
k
5
6
7

9. Модель эффекта случайных смещений результата

Можно условно считать, что:
1.добавление нового параметра "у" увели
2.среднее значение результата не меняе
1-й случай: r=x+y, где r≥0
1) если у "у" корреляция с "х" не отрицател
Gx y Gx
x y
2
12 r x
Dy
rx
2
px ( r ) dr
2
0
x 2 x, y
Dy
rx
2) возможен случай p(r) → δ(r), G →1,
иначе G≥2/3
2
x

10.

2-й случай: r=x+y, где -∞≤r≤+∞ – неоднородность Ф растет,
но
пропорционально числу параметров: σ~N
3-й случай: r=x*y –
σ~N, но дисперсия растет гораздо быстрее.
Для логнормального распределения:
G
1,2
1
D
2
exp[
] 1
2
r
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4

11. Эффект естественного отбора

"Побеждают сильнейшие": w(r ) u(r, y) d k y
1. G = результат усреднения однородности Gi
"гармоник" с весовым коэффициентом
ki~(<ri>)1/2
2. Если среди суммируемых "гармоник", т.е.
распределений с фиксированным
значением параметров , существуют
распределения со степенными "хвостами",
то итоговое распределение тоже будет
иметь степенной хвост, потому что он
убывает медленнее.

12. ЭЕО: Большая неоднородность

Скалярное произведение порождает
сепарабельное гильбертово пространство:
u1 u2 S 1 S 2 dr
0
S ( r ) u(t ) dt
r
L || u || u u | S ( ) | G r 0

13. Поведение меры однородности G при суммировании гармоник

k
w
(
r
)
u
(
r
,
y
)
d
y, w( r ) u( r, yi )
Сумма гармоник:
i
L || u || u u G r 0
L G
| Li |
i
W r
- "длина вектора"
ei Wi Wi r i Gi
i
W
i
i
То есть побеждают наибольшие
W r
i
i
r i
i

14. ЭЕО: Появление "степенных хвостов" распределений

ЭЕО: Появление "степенных
хвостов" распределений
d (ln f (r ))
d (ln r )
m(r ) m[ f (r )]
Эффективный показатель степени:
mr [u( r, y )]
"Степенное усреднение":m m[w(r )]
В дискретном случае:
r
d
f (r )
dr
f (r )
u( r, y )
r
u( r, y )
r
k
k
u
(
r
,
y
)
d
y
m
[
u
(
r
,
y
)]
u
(
r
,
y
)
d
y
r
r
k
k
u (r , y ) d y
u (r , y ) d y
r
m[u (r )] u (r ) m u
m m[ w(r )]
u (r )
u
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i

15. Дрейф показателя суммы гармоник вниз вплоть до наименьшего из показателей

2
d
d
1
d
1
m m m m m D
dr
dr
r
dr
r
"Степенная дисперсия":
2
d
d
d
m
m m m
m D
d
d
d
r
ln :
r0
2
D m m m2 (m) 2 0

16. Отклонение эфф-го показателя степени от минимального

mmin ( r ) r min y m( r, y )
min y m( r, y ) mmin ( r ) ?
r2
u( r2 , y ) u( r1 , y ) exp mr [u( r, y )] d (ln r ) u( r1 , y ) e S12 ( y )
r
1
ln u(r2 , y) ln u(r1, y) S12 ( y)
r2
r2
2
r1
r1
1
S12 ( y ) mr [u( r, y )] d (ln r ) mr [u( r, y )] d m( , y ) d

17. Эффективный показатель степени для конечных результатов

S12
mmin ( r2 ) ln( 10 A)
m2
1

18. "Чистые" законы распределения

"Чистые" законы распределения
• не объясняются эффектом естественного
отбора
• объясняются эффектом случайных смещений
параметра только для некоторых
распределений (логнормальное,
логнормальное)

19. Условие сокрытия параметров для марковских процессов

A N G
N 0(r, y) 0(r , y)
G(us , r ' , y', r , y) (us (r , y) ws (r ) ( y)) g1 (r ' , y', r ) G2 (ws (r ), r ' , y', r , y)
n
G
(
w
(
r
),
r
'
,
y
'
,
r
,
y
)
d
y G(ws , r ' , y', r ) G0 (ws , r ' , r )
2
s
g1 (r ' , y', r )
- произвольная функция

20. Чисто степенные распределения для марковских процессов

Разумно предположить, что если в результате эволюции
получается чисто степенное распределение, то оператор
эволюции почти всегда можно представить в виде "ВА", где "А"
– масштабно-инвариантный оператор (глобально или только
локально), а оператор "В" нулевую функцию переводит в
нулевую. Исключения представляют собой вырожденные случаи
и, видимо, не должны часто встречаться.
Оператор "А" является масштабно-инвариантным:
• глобальная масштабная инвариантность может существовать
только если объекты не взаимодействуют или эволюционирует
один объект
• локальная масштабная инвариантность может возникнуть,
только если на объекты влияют параметры всей совокупности
других объектов как целое: "температура", число, "давление"
Оператор "В" в общем случае не является масштабноинвариантным и, соответственно, не будет масштабноинвариантным и итоговый оператор "ВА".

21. Цикл статей "Доказательный менеджмент"

Цикл статей "Доказательный
менеджмент"
1. Общий подход к расчету проектов
2. Критика книги "От хорошего к великому" Филом
Розенцвейгом – насколько она обоснована?
3. Расчет эффективностей и их использование
4. Тестирование в бизнесе
5. Инновация как враг прибыльного бизнеса
6. Как объяснить Принцип 80/20 с помощью эффектов
"естественного отбора" и случайных смещений
результата
7. Оценка вероятностей человеком – дважды
неожиданные эффекты
8. Система Тойоты и реинжиниринг – чем могут помочь
численные модели?