Класи потоків викликів

1. Лекція 3

Класи потоків викликів
Література
Омельченко А.В. Основи аналізу систем розподілу інформації.
Навч. посібник. – Харків: ХНУРЕ, 2008. – С 20-24

2. Потоки із простою післядією

• У загальному випадку СРІ, зокрема комутаційна система
(КС), впливає на процес надходження викликів (рис. 7).
Рисунок 7 – Комутаційна система як СРІ
• Особливо відчутний цей вплив при малій кількості джерел
викликів n.
• Потоком з простою післядією називається ординарний
(t ) залежить тільки від
потік, для якого параметр потоку
стану СРІ S( t ) в момент часу t
t f S t
.
(21)

3.

• Сформулюємо більш строге визначення.
• Потоком із простою післядією називається ординарний
потік, для якого у будь-який момент часу існує кінцевий
параметр потоку, що залежить від стану системи S (t )
s( t ) lim
0
Pi 1 ( t ,t / S ( t ))
.
(22)
До окремих випадків потоків із простою післядією
відноситься симетричний потік, примітивний потік і потік з
повторними викликами.
Стани КС, що розрізняються тільки числом зайнятих
входів, називаються макростанами.
Симетричним потоком називається потік із простою
післядією, параметр якого в будь-який момент часу залежить
тільки від макростану системи.

4.

t i ,
(23)
• де i – число зайнятих приладів (виходів) системи у
момент часу t
• Примітивний потік – це такий симетричний потік, у якого
параметр λi прямо пропорційний числу вільних у цей
момент часу джерел
(24)
i n i ,
де n
– загальне число джерел викликів;
i – число джерел, що обслуговуються, у момент часу t
– параметр джерела у вільному стані.
;
• Для джерел у вільному стані за звичай передбачається
експоненціальний розподіл інтервалів між сусідніми
викликами.

5.

• У телефонії примітивний потік зветься потоком ВОЧД –
викликів від обмеженого числа джерел. Такий потік
нестаціонарний і є потоком з післядією, оскільки
ймовірність виникнення викликів залежить від числа
викликів i , що надійшли до цього моменту. Зі
збільшенням n і зменшенням α післядія потоку
зменшується. У граничному випадку n
, 0
так,
що n const модель примітивного потоку переходить
у модель найпростішого потоку викликів.

6.

• Потік з повторними викликами складається з первинних
викликів і повторних викликів, що надходять на СРІ
повторно, якщо первинна заявка не була обслужена. У
випадку найпростішого потоку первинних викликів
параметр такого потоку
j j
де j
–
,
(25)
число джерел повторних викликів;
– параметр потоку від одного джерела
повторних викликів;
– параметр найпростішого потоку первинних викликів.

7. Операції над потоками викликів

• Основними операціями над потоками є операція об'єднання
й операція просіювання.
• Об'єднанням (сумою) двох потоків 1 і 2 називається
потік , у якому моменти появи викликів складаються
з моментів появи викликів у потоках 1 і 2 .
• Два потоки називаються незалежними, якщо закон
розподілу числа викликів, що потрапляють на будь-який
проміжок часу в одному з потоків, не залежить від того,
скільки викликів потрапило на будь-який проміжок часу в
іншому потоці. При об'єднанні незалежних потоків їхні
провідні функції й інтенсивності складаються.

8.

• Гранична теорема потоків свідчить: якщо підсумувати
велике число ординарних незалежних потоків з близькими
інтенсивностями, то сумарний потік буде близький до
пуассонівського (найпростішого).
Ця теорема дає
теоретичне обґрунтування для широкого використання
моделі найпростіших потоків.
• Операція просіювання може бути як детермінована так і
випадкова. Для детермінованого просіювання закон
просіювання відомий і заздалегідь визначений
• Операція
випадкового
просіювання
називається
рекурентною, якщо з імовірністю p
кожен виклик
залишається в потоці, а з імовірністю 1 p
Позначається ця операція так: p R p
втрачається.
.

9.

• Якщо операції рекурентного просіювання піддати
найпростіший потік з параметром ,
то потік буде також найпростішим з параметром p , де
p – імовірність збереження виклику в потоці.
Звідси випливає важливий для практики висновок: якщо
найпростіший потік з параметром розділяється
комутаційною системою на h напрямків і ймовірність того,
що виклик потрапить на
потік
i -й напрямок, дорівнює pi , то
i -го напрямку також є найпростішим з параметром
pi .

10. Час обслуговування викликів

• Виклики, що надходять від абонентських пристроїв,
займають прилади СРІ на певний час. Розрізняють
математичні моделі, що відповідають фіксованому й
випадковому часу обслуговування Tоб .
• Фіксоване значення тривалості одного заняття Tоб
припускає, що для кожного виклику визначена тривалість
його обслуговування. Зокрема час Tоб може бути
постійним, якщо всі виклики однакові за тривалістю
обслуговування. У телефонії модель постійної тривалості
обслуговування застосовується для опису роботи
пристроїв керування при встановленні з'єднання.
• Моделлю випадкового часу обслуговування Tоб є
випадкова величина, що описується імовірнісним законом
розподілу.

11.

• Найпростішою і розповсюдженою моделлю випадкової
тривалості обслуговування є випадкова величина з
експоненціальним розподілом. Функція розподілу
експоненціального закону має вигляд :
t
1 e , t 0
F t P Tоб t
0, t 0
де
1
M Tоб
,
(26)
– параметр обслуговування.
• У теорії надійності функція (t ) 1 F (t ) називається
функцією надійності. Вона характеризує ймовірність того,
що елемент не відмовить раніше, ніж за час t .
• Модель випадкової величини з експоненціальним законом
розподілу використовується для опису тривалостей розмов
в телефонних мережах.

12. Потік звільнень

• Потоком звільнення називається послідовність моментів
закінчення обслуговування викликів. У загальному
випадку властивості потоку звільнень залежать від
властивостей вхідного потоку, кількості обслуговуючих
приладів і закону розподілу тривалості обслуговування.
• При обслуговуванні вхідного потоку викликів без втрат у
випадку постійної тривалості обслуговування властивості
потоку звільнень співпадають з властивостями вхідного
потоку.
• Виконаємо аналіз випадкової тривалості обслуговування з
експоненціальним законом розподілу.
• Нехай на СРІ надходить випадковий потік викликів, час
заняття викликів підкоряється експоненціальному закону
розподілу
й
обслуговування
кожного
виклику
здійснюється незалежно.

13.

• Покажемо, що в цьому випадку параметр потоку
звільнення дорівнює
зв ( t ) k
(27)
• де k – число зайнятих виходів комутаційної системи в
момент часу ;
– параметр обслуговування.
Якщо в СРІ у момент часу t зайнято k приладів, то
ймовірність звільнення за час t ,t хоча б одного
приладу при незалежному обслуговуванні викликів
дорівнює
Pi 1 ( ) 1 P0 ( ) 1 ( e
)
k
(28)

14.

• За означенням параметра потоку
зв ( t )
lim
0
Pi 1 ( )
(29)
• Після підстановки в (29) виразу (28) і відповідних
перетворень отримаємо вираз (27).
• Таким чином, параметр потоку звільнень у цьому випадку
прямо пропорційний кількості обслуговуючих приладів і
обернено пропорційний середньому часу обслуговування
одного виклику одним приладом.